Considere a série . Podemos usar o teste da integral para decidir sobre sua convergência? Decida( com cálculos) se esta série é convergente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma série infinita: . A questão pergunta se a gente pode usar o teste da integral para decidir se essa série converge. Vamos precisar conhecer esse teste e saber como aplicá-lo nesse caso específico.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o teste da integral. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência de uma série infinita comparando-a com uma integral. Basicamente, se a função , que é positiva, contínua e decrescente para (para algum número ), então:
Convergem ou divergem juntos. Ou seja, se a integral for finita (convergir), a série também converge; se a integral for infinita (diverge), a série também diverge.

Passo 3

Vamos aplicar isso à nossa série: . Precisamos verificar se essa função atende aos critérios do teste da integral:
  1. Positiva: Para , e , então .
  2. Contínua: A função é contínua para .
  3. Decrescente: À medida que aumenta, tanto quanto aumentam, então diminui.
Tudo certo até aqui!

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral correspondente:
Podemos simplificar essa integral fazendo uma substituição. Vamos deixar , então . Precisamos ajustar a integral:
Primeiro, expressamos em termos de :
Então, .
Substituindo na integral:

Passo 5

A integral é conhecida como a Função Exponencial Integral, que não tem uma primitiva elementar. Porém, para verificar a convergência, podemos analisar o comportamento da função integranda quando tende ao infinito.
Sabemos que decai para zero muito rápido, mais rápido que qualquer potência de . Portanto, a integral:
converge.

Resposta

Usando o teste da integral, concluímos que a série é convergente.

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