Considere a série
. Podemos usar o teste da integral para decidir sobre sua convergência? Decida( com cálculos) se esta série é convergente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma série infinita:
. A questão pergunta se a gente pode usar o teste da integral para decidir se essa série converge. Vamos precisar conhecer esse teste e saber como aplicá-lo nesse caso específico.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o teste da integral. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência de uma série infinita comparando-a com uma integral. Basicamente, se a função
, que é positiva, contínua e decrescente para
(para algum número
), então:
Convergem ou divergem juntos. Ou seja, se a integral for finita (convergir), a série também converge; se a integral for infinita (diverge), a série também diverge.
Passo 3
Vamos aplicar isso à nossa série:
. Precisamos verificar se essa função atende aos critérios do teste da integral:
- Positiva: Para
, e , então . - Contínua: A função é contínua para
. - Decrescente: À medida que
aumenta, tanto quanto aumentam, então diminui.
Tudo certo até aqui!
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral correspondente:
Podemos simplificar essa integral fazendo uma substituição. Vamos deixar
, então
. Precisamos ajustar a integral:
Primeiro, expressamos
em termos de
:
Então,
.
Substituindo na integral:
Passo 5
A integral
é conhecida como a Função Exponencial Integral, que não tem uma primitiva elementar. Porém, para verificar a convergência, podemos analisar o comportamento da função integranda quando
tende ao infinito.
Sabemos que
decai para zero muito rápido, mais rápido que qualquer potência de
. Portanto, a integral:
converge.
Resposta
Usando o teste da integral, concluímos que a série
é convergente.
Exercícios relacionados
Seja a função
, construa o gráfico das curvas de nivel para
.
Resolva as inequações:
A série
é convergente ou divergente? Se for convergente, converge para quanto?
Calcule as derivadas parciais
da função
.