Considere a série sumk=2 1k^2 ln (k). Podemos usar o teste da integral para decidir sobre sua convergência? Decida( com cálculos) se esta série é convergente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma série infinita: sumk=2^infty 1k^2 ln (k). A questão pergunta se a gente pode usar o teste da integral para decidir se essa série converge. Vamos precisar conhecer esse teste e saber como aplicá-lo nesse caso específico.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o teste da integral. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência de uma série infinita comparando-a com uma integral. Basicamente, se a função f(x), que é positiva, contínua e decrescente para x >= N (para algum número N), então:
sumk=N^infty f(k) e integralN^infty f(x) , dx
Convergem ou divergem juntos. Ou seja, se a integral for finita (convergir), a série também converge; se a integral for infinita (diverge), a série também diverge.

Passo 3

Vamos aplicar isso à nossa série: f(k) = 1k^2 ln (k). Precisamos verificar se essa função atende aos critérios do teste da integral:
  1. Positiva: Para k >= 2, k^2 > 0 e ln(k) > 0, então f(k) > 0.
  2. Contínua: A função é contínua para k >= 2.
  3. Decrescente: À medida que k aumenta, tanto k^2 quanto ln(k) aumentam, então f(k) diminui.
Tudo certo até aqui!

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral correspondente:
integral2^infty 1x^2 ln (x) , dx
Podemos simplificar essa integral fazendo uma substituição. Vamos deixar u = ln(x), então du = 1x dx. Precisamos ajustar a integral:
Primeiro, expressamos x em termos de u:
x = e^u
Então, dx = e^u du.
Substituindo na integral:
integralu=ln(2)^infty 1(e^u)^2 cdot u cdot e^u du = integralln(2)^infty 1e^u cdot u du = integralln(2)^infty e^-uu du

Passo 5

A integral integral e^-uu du é conhecida como a Função Exponencial Integral, que não tem uma primitiva elementar. Porém, para verificar a convergência, podemos analisar o comportamento da função integranda quando u tende ao infinito.
Sabemos que e^-u decai para zero muito rápido, mais rápido que qualquer potência de u. Portanto, a integral:
integralln(2)^infty e^-uu du
converge.

Resposta

Usando o teste da integral, concluímos que a série sumk=2^infty 1k^2 ln (k) é convergente.

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