A série sumn=0^infty 2^2 k3^3 k é convergente ou divergente? Se for convergente, converge para quanto?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pergunta se a série sumk=0^infty 2^2k3^3k é convergente ou divergente. Se for convergente, precisamos descobrir para quanto ela converge. Vamos usar o conteúdo de séries geométricas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série. Observe que 2^2k pode ser reescrito como (2^2)^k = 4^k e 3^3k como (3^3)^k = 27^k. Assim, a série fica:
sumk=0^infty 4^k27^k = sumk=0^infty (427)^k

Passo 3

Agora, essa é uma série geométrica da forma sumk=0^infty r^k, onde r = 427. Sabemos que uma série geométrica converge se o valor absoluto de r for menor que 1.

Passo 4

Vamos verificar o valor de r:
|427| = 427 approx 0,148 < 1
Como 0,148 é menor que 1, a série é convergente.

Passo 5

Para encontrar a soma da série convergente, usamos a fórmula da soma de uma série geométrica:
S = 11 - r
Substituindo r por 427:
S = 11 - 427 = 12327 = 2723

Resposta

A série �� convergente e converge para 2723.

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