A série é convergente ou divergente? Se for convergente, converge para quanto?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pergunta se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, precisamos descobrir para quanto ela converge. Vamos usar o conteúdo de séries geométricas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série. Observe que pode ser reescrito como e como . Assim, a série fica:

Passo 3

Agora, essa é uma série geométrica da forma , onde . Sabemos que uma série geométrica converge se o valor absoluto de for menor que 1.

Passo 4

Vamos verificar o valor de :
Como é menor que 1, a série é convergente.

Passo 5

Para encontrar a soma da série convergente, usamos a fórmula da soma de uma série geométrica:
Substituindo por :

Resposta

A série �� convergente e converge para .

Exercícios relacionados

Considere a série . Podemos usar o teste da integral para decidir sobre sua convergência? Decida( com cálculos) se esta série é convergente.
Seja a função , construa o gráfico das curvas de nivel para .
Calcule as derivadas parciais da função .
Mostre que a série converge para zero. (Dica: use o teste da razão)