Calcule as derivadas parciais
e
para as funções abaixo:
;
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função
e precisamos calcular suas derivadas parciais de segunda ordem:
Para resolver isso, vamos precisar do conceito de derivadas parciais e da regra da cadeia em cálculo. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Sabemos que a derivada de
em relação a
é
. Aplicando a regra da cadeia:
Aqui, derivamos o argumento da tangente em relação a
, que é
.
Então,
Passo 3
Agora, vamos encontrar a segunda derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Isso significa que vamos derivar novamente
em relação a
:
A constante 7 fica fora da derivada:
A derivada de
em relação a
é
. Aplicando a regra da cadeia:
Novamente, derivamos o argumento
em relação a
, que é 7:
Passo 4
Vamos agora calcular a primeira derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Usando a mesma abordagem da regra da cadeia:
Derivando o argumento em relação a
, obtemos
:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a segunda derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Derivamos novamente
em relação a
:
A constante
fica fora da derivada:
Usando a derivada de
e a regra da cadeia:
O que nos dá:
Simplificando:
Passo 6
Por fim, vamos calcular a derivada parcial mista
.
Isso significa que primeiro derivamos
em relação a
e depois o resultado em relação a
.
Já sabemos que:
Agora, derivamos isso em relação a
:
Usando a derivada de
e a regra da cadeia:
Que resulta em:
Simplificando:
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem da função
são:
Exercícios relacionados
Determine a relação que deve existir entre
e
para que a função
satisfaça a
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno dos eixos especificados:
; ao redor de
Determine
quando
é a função
e
.
Calcule as derivadas parciais
e
para as funções abaixo:
.