Calcule as derivadas parciais partial^2 zpartial x^2, partial^2 zpartial y^2 e partial^2 zpartial y partial x para as funções abaixo: z=tg(7 x-3 y);

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função e precisamos calcular suas derivadas parciais de segunda ordem:
Para resolver isso, vamos precisar do conceito de derivadas parciais e da regra da cadeia em cálculo. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial de partial zpartial x = sec^2(7x - 3y) cdot partialpartial x(7x - 3y) em relação a partial zpartial x = 7 sec^2(7x - 3y) , ou seja, .
Sabemos que a derivada de em relação a é . Aplicando a regra da cadeia:
Aqui, derivamos o argumento da tangente em relação a , que é .
Então,

Passo 3

Agora, vamos encontrar a segunda derivada parcial de partial^2 zpartial x^2 = partialpartial x ( 7 sec^2(7x - 3y) ) em relação a partial^2 zpartial x^2 = 7 cdot partialpartial x ( sec^2(7x - 3y) ) , ou seja, partial^2 zpartial x^2 = 7 cdot 2 sec^2(7x - 3y) tan(7x - 3y) cdot partialpartial x(7x - 3y) .
Isso significa que vamos derivar novamente partial^2 zpartial x^2 = 14 sec^2(7x - 3y) tan(7x - 3y) em relação a :
A constante 7 fica fora da derivada:
A derivada de em relação a é . Aplicando a regra da cadeia:
Novamente, derivamos o argumento em relação a , que é 7:

Passo 4

Vamos agora calcular a primeira derivada parcial de partial zpartial y = sec^2(7x - 3y) cdot partialpartial y(7x - 3y) em relação a partial zpartial y = -3 sec^2(7x - 3y) , ou seja, .
Usando a mesma abordagem da regra da cadeia:
Derivando o argumento em relação a , obtemos :

Passo 5

Agora, vamos encontrar a segunda derivada parcial de partial^2 zpartial y^2 = partialpartial y ( -3 sec^2(7x - 3y) ) em relação a partial^2 zpartial y^2 = -3 cdot partialpartial y ( sec^2(7x - 3y) ) , ou seja, partial^2 zpartial y^2 = -3 cdot 2 sec^2(7x - 3y) tan(7x - 3y) cdot partialpartial y(7x - 3y) .
Derivamos novamente partial^2 zpartial y^2 = -6 sec^2(7x - 3y) tan(7x - 3y) cdot (-3) em relação a partial^2 zpartial y^2 = 18 sec^2(7x - 3y) tan(7x - 3y) :
A constante fica fora da derivada:
Usando a derivada de e a regra da cadeia:
O que nos dá:
Simplificando:

Passo 6

Por fim, vamos calcular a derivada parcial mista partial zpartial x = 7 sec^2(7x - 3y) .
Isso significa que primeiro derivamos partial^2 zpartial y partial x = 7 cdot partialpartial y ( sec^2(7x - 3y) ) em relação a partial^2 zpartial y partial x = 7 cdot 2 sec^2(7x - 3y) tan(7x - 3y) cdot partialpartial y(7x - 3y) e depois o resultado em relação a partial^2 zpartial y partial x = 14 sec^2(7x - 3y) tan(7x - 3y) cdot (-3) .
Já sabemos que:
partial^2 zpartial y partial x = -42 sec^2(7x - 3y) tan(7x - 3y)
Agora, derivamos isso em relação a :
Usando a derivada de e a regra da cadeia:
Que resulta em:
Simplificando:

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem da função partial^2 zpartial x^2 = 14 sec^2(7x - 3y) tan(7x - 3y) são:
partial^2 zpartial y^2 = 18 sec^2(7x - 3y) tan(7x - 3y)
partial^2 zpartial y partial x = -42 sec^2(7x - 3y) tan(7x - 3y)

Exercícios relacionados