Calcule as derivadas parciais e para as funções abaixo: ;

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função e precisamos calcular suas derivadas parciais de segunda ordem:
Para resolver isso, vamos precisar do conceito de derivadas parciais e da regra da cadeia em cálculo. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Sabemos que a derivada de em relação a é . Aplicando a regra da cadeia:
Aqui, derivamos o argumento da tangente em relação a , que é .
Então,

Passo 3

Agora, vamos encontrar a segunda derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Isso significa que vamos derivar novamente em relação a :
A constante 7 fica fora da derivada:
A derivada de em relação a é . Aplicando a regra da cadeia:
Novamente, derivamos o argumento em relação a , que é 7:

Passo 4

Vamos agora calcular a primeira derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Usando a mesma abordagem da regra da cadeia:
Derivando o argumento em relação a , obtemos :

Passo 5

Agora, vamos encontrar a segunda derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Derivamos novamente em relação a :
A constante fica fora da derivada:
Usando a derivada de e a regra da cadeia:
O que nos dá:
Simplificando:

Passo 6

Por fim, vamos calcular a derivada parcial mista .
Isso significa que primeiro derivamos em relação a e depois o resultado em relação a .
Já sabemos que:
Agora, derivamos isso em relação a :
Usando a derivada de e a regra da cadeia:
Que resulta em:
Simplificando:

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem da função são:

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