Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno dos eixos especificados: ; ao redor de

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume do sólido que resulta da rotação da área limitada pelas curvas e em torno da linha . Para isso, vamos usar o método dos discos ou anéis, que é uma técnica de cálculo para encontrar volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde as curvas se intersectam para saber os limites de integração. Igualando e :
Então, as interseções ocorrem em e . Isso significa que vamos integrar de 0 a 1.

Passo 3

Agora, como estamos girando em torno de , vamos usar o método dos anéis (discos concêntricos). A fórmula para o volume é:
Onde:
  • é a distância do eixo de rotação à função externa.
  • é a distância do eixo de rotação à função interna.

Passo 4

No nosso caso, como estamos trabalhando com e , precisamos expressar essas funções em termos de :
Para :
Para :

Passo 5

Agora, identificamos qual função está mais afastada do eixo de rotação . Vamos calcular as distâncias:
Para :
Para :
Mas precisamos reconsiderar, pois ambas as funções estão abaixo de . Precisamos ajustar as fórmulas:
Na verdade, o raio externo será a distância de para a função que está mais próxima de , e o raio interno para a mais próxima do eixo.

Passo 6

Vamos reavaliar:
A função está mais próxima de que no intervalo de 0 a 1. Portanto:
(para )
(para )

Passo 7

Agora, aplicamos a fórmula do volume:

Passo 8

Vamos expandir os termos dentro da integral:
Subtraindo:

Passo 9

Agora, a integral fica:
Vamos integrar termo a termo:

Passo 10

Aplicando os limites de 0 a 1:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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