Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno dos eixos especificados:
; ao redor de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume do sólido que resulta da rotação da área limitada pelas curvas
e
em torno da linha
. Para isso, vamos usar o método dos discos ou anéis, que é uma técnica de cálculo para encontrar volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde as curvas se intersectam para saber os limites de integração. Igualando
e
:
Então, as interseções ocorrem em
e
. Isso significa que vamos integrar de 0 a 1.
Passo 3
Agora, como estamos girando em torno de
, vamos usar o método dos anéis (discos concêntricos). A fórmula para o volume é:
Onde:
-
é a distância do eixo de rotação à função externa. -
é a distância do eixo de rotação à função interna.
Passo 4
No nosso caso, como estamos trabalhando com
e
, precisamos expressar essas funções em termos de
:
Para
:
Para
:
Passo 5
Agora, identificamos qual função está mais afastada do eixo de rotação
. Vamos calcular as distâncias:
Para
:
Para
:
Mas precisamos reconsiderar, pois ambas as funções estão abaixo de
. Precisamos ajustar as fórmulas:
Na verdade, o raio externo será a distância de
para a função que está mais próxima de
, e o raio interno para a mais próxima do eixo.
Passo 6
Vamos reavaliar:
A função
está mais próxima de
que
no intervalo de 0 a 1. Portanto:
Passo 7
Agora, aplicamos a fórmula do volume:
Passo 8
Vamos expandir os termos dentro da integral:
Subtraindo:
Passo 9
Agora, a integral fica:
Vamos integrar termo a termo:
Passo 10
Aplicando os limites de 0 a 1:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
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unidades de um produto A e
unidades de um produto B , sendo o lucro mensal da produção conjunta dado por:
Num certo mês foram produzidas 2.000 unidades de A e 1.000 unidades de B. Calcule
e
nesse mês;
Calcule os limites :
Determine a relação que deve existir entre
e
para que a função
satisfaça a
Calcule as derivadas parciais
e
para as funções abaixo:
;