Determine a relação que deve existir entre a e b para que a função z=e^a x+b y satisfaça a
partial^2 zpartial x^2=9 partial^2 zpartial y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir qual a relação entre os números e para que a função satisfaça a equação das derivadas parciais . Vamos usar conhecimentos de derivadas parciais para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de partial zpartial x = a e^a x + b y em relação a . Como , derivando em relação a :

Passo 3

Agora, vamos derivar novamente em relação a partial^2 zpartial x^2 = a^2 e^a x + b y para obter a segunda derivada:

Passo 4

Vamos fazer o mesmo para a derivada em relação a partial zpartial y = b e^a x + b y . Primeiro, a primeira derivada:

Passo 5

E a segunda derivada em relação a partial^2 zpartial y^2 = b^2 e^a x + b y :

Passo 6

Agora, substituímos as segundas derivadas na equação dada:
a^2 e^a x + b y = 9 b^2 e^a x + b y

Passo 7

Podemos simplificar dividindo ambos os lados por a^2 = 9 b^2 (que nunca é zero):

Resposta

A relação entre e deve ser ou .

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