Calcule as derivadas parciais partial^2 zpartial x^2, partial^2 zpartial y^2 e partial^2 zpartial y partial x para as funções abaixo: z=ln (x+2 y).

Passo 1

Então, você tem uma função e precisa encontrar as derivadas parciais de segunda ordem: , e . Vamos usar conceitos de cálculo de derivadas parciais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial de partial zpartial x = 1x + 2y cdot partialpartial x(x + 2y) = 1x + 2y cdot 1 = 1x + 2y em relação a . Lembre-se que quando derivamos em relação a , tratamos como uma constante.
A função é . A derivada da função logarítmica em relação a é , então aplicamos a regra da cadeia:

Passo 3

Agora, vamos derivar novamente em relação a partial zpartial x = 1x + 2y para encontrar partial^2 zpartial x^2 = partialpartial x(1x + 2y) = -1(x + 2y)^2 . Temos:
Derivando em relação a :

Passo 4

Agora, vamos encontrar a primeira derivada parcial de partial zpartial y = 1x + 2y cdot partialpartial y(x + 2y) = 1x + 2y cdot 2 = 2x + 2y em relação a :

Passo 5

Em seguida, derivamos novamente em relação a partial zpartial y = 2x + 2y para encontrar partial^2 zpartial y^2 = partialpartial y(2x + 2y) = -4(x + 2y)^2 :
Derivando em relação a :

Passo 6

Por fim, vamos encontrar a derivada mista partial zpartial x = 1x + 2y . Isso significa que primeiro derivamos em relação a partial^2 zpartial y partial x = partialpartial y(1x + 2y) = -2(x + 2y)^2 e depois em relação a , ou vice-versa.
Já temos:
Derivando essa expressão em relação a :

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem são:
partial^2 zpartial x^2 = -1(x + 2y)^2
partial^2 zpartial y^2 = -4(x + 2y)^2
partial^2 zpartial y partial x = -2(x + 2y)^2

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