Calcule as derivadas parciais e para as funções abaixo: .

Passo 1

Então, você tem uma função e precisa encontrar as derivadas parciais de segunda ordem: , e . Vamos usar conceitos de cálculo de derivadas parciais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial de em relação a . Lembre-se que quando derivamos em relação a , tratamos como uma constante.
A função é . A derivada da função logarítmica em relação a é , então aplicamos a regra da cadeia:

Passo 3

Agora, vamos derivar novamente em relação a para encontrar . Temos:
Derivando em relação a :

Passo 4

Agora, vamos encontrar a primeira derivada parcial de em relação a :

Passo 5

Em seguida, derivamos novamente em relação a para encontrar :
Derivando em relação a :

Passo 6

Por fim, vamos encontrar a derivada mista . Isso significa que primeiro derivamos em relação a e depois em relação a , ou vice-versa.
Já temos:
Derivando essa expressão em relação a :

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem são:

Exercícios relacionados

Determine quando é a função e .
Calcule as derivadas parciais e para as funções abaixo: ;
Se admite derivadas parciais até ordem, chama-se Laplaciano de a função
Calcule para as seguintes funções: .
Se admite derivadas parciais até ordem, chama-se Laplaciano de a função
Calcule para as seguintes funções: