Calcule as derivadas parciais
e
para as funções abaixo:
.
Passo 1
Então, você tem uma função
e precisa encontrar as derivadas parciais de segunda ordem:
,
e
. Vamos usar conceitos de cálculo de derivadas parciais para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada parcial de
em relação a
. Lembre-se que quando derivamos em relação a
, tratamos
como uma constante.
A função é
. A derivada da função logarítmica
em relação a
é
, então aplicamos a regra da cadeia:
Passo 3
Agora, vamos derivar novamente em relação a
para encontrar
. Temos:
Derivando em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a primeira derivada parcial de
em relação a
:
Passo 5
Em seguida, derivamos novamente em relação a
para encontrar
:
Derivando em relação a
:
Passo 6
Por fim, vamos encontrar a derivada mista
. Isso significa que primeiro derivamos em relação a
e depois em relação a
, ou vice-versa.
Já temos:
Derivando essa expressão em relação a
:
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem são:
Exercícios relacionados
Determine
quando
é a função
e
.
Calcule as derivadas parciais
e
para as funções abaixo:
;
Se
admite derivadas parciais até
ordem, chama-se Laplaciano de
a função
Calcule
para as seguintes funções:
.
Se
admite derivadas parciais até
ordem, chama-se Laplaciano de
a função
Calcule
para as seguintes funções: