Determine d/z dt quando z é a função z = x^2 + x * y^3 com x = cos(t) e y = sen(t).

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar a derivada onde é uma função de e , sendo e . Estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente usando a regra da cadeia para derivadas de funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a função em termos de e :
Queremos encontrar , que é a taxa de variação de em relação a . Como depende de e , que por sua vez dependem de , precisamos usar a regra da cadeia para derivar em relação a .

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia, a derivada de em relação a é:
Aqui, e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente.

Passo 4

Calculando as derivadas parciais:
Essas derivadas mostram como muda com pequenas variações em e .

Passo 5

Agora, vamos encontrar e :
Essas são as derivadas de e em relação a .

Passo 6

Substituindo tudo na fórmula da regra da cadeia:
Agora, vamos substituir e na expressão.

Passo 7

Substituindo e :
Simplificando cada termo:

Resposta

A derivada é dada por:

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