Determine
quando
é a função
e
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar a derivada
onde
é uma função de
e
, sendo
e . Estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente usando a regra da cadeia para derivadas de funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a função
em termos de
e
:
Queremos encontrar
, que é a taxa de variação de
em relação a
. Como
depende de
e
, que por sua vez dependem de
, precisamos usar a regra da cadeia para derivar
em relação a
.
Passo 3
Aplicando a regra da cadeia, a derivada de
em relação a
é:
Aqui,
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
, respectivamente.
Passo 4
Calculando as derivadas parciais:
Essas derivadas mostram como
muda com pequenas variações em
e
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar
e
:
Essas são as derivadas de
e
em relação a
.
Passo 6
Substituindo tudo na fórmula da regra da cadeia:
Agora, vamos substituir
e na expressão.
Passo 7
Substituindo
e
:
Simplificando cada termo:
Resposta
A derivada
é dada por:
Exercícios relacionados
Calcule as derivadas parciais
e
para as funções abaixo:
;
Determine a relação que deve existir entre
e
para que a função
satisfaça a
Calcule as derivadas parciais
e
para as funções abaixo:
.
Se
admite derivadas parciais até
ordem, chama-se Laplaciano de
a função
Calcule
para as seguintes funções:
.