Se admite derivadas parciais até ordem, chama-se Laplaciano de a função
Calcule para as seguintes funções:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre o Laplaciano de uma função de duas variáveis. O Laplaciano, representado por , é a soma das segundas derivadas parciais da função em relação a e . Basicamente, ele nos dá uma ideia de como a função está curvando em cada direção. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais de segunda ordem de em relação a e e somá-las.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada parcial de em relação a .
A função é:
Derivando em relação a :

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de em relação a .
Derivando novamente a primeira derivada:

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a primeira derivada parcial de em relação a .
Derivando a função original em relação a :

Passo 5

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de em relação a .
Derivando novamente a primeira derivada:

Passo 6

Finalmente, vamos somar as segundas derivadas parciais para encontrar o Laplaciano de .

Resposta

O Laplaciano de é:

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Se admite derivadas parciais até ordem, chama-se Laplaciano de a função
Calcule para as seguintes funções: .
Calcule as derivadas parciais e para as funções abaixo: .
Indique os domínios das funções dadas e derive-as:
;
Calcule os limites :