Se f(x, y) admite derivadas parciais até 2^ a ordem, chama-se Laplaciano de f a função
nabla^2 f(x, y)=partial^2 fpartial x^2(x, y)+partial^2 fpartial y^2(x, y)
Calcule nabla^2 f para as seguintes funções: f(x, y)=x^4-y^4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre o Laplaciano de uma função de duas variáveis. O Laplaciano, representado por , é a soma das segundas derivadas parciais da função em relação a e . Basicamente, ele nos dá uma ideia de como a função está curvando em cada direção. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais de segunda ordem de em relação a e e somá-las.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada parcial de f(x, y) = x^4 - y^4 em relação a partial fpartial x = 4x^3 .
A função é:
Derivando em relação a :

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de partial^2 fpartial x^2 = ddx (4x^3) = 12x^2 em relação a .
Derivando novamente a primeira derivada:

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a primeira derivada parcial de partial fpartial y = -4y^3 em relação a .
Derivando a função original em relação a :

Passo 5

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de partial^2 fpartial y^2 = ddy (-4y^3) = -12y^2 em relação a .
Derivando novamente a primeira derivada:

Passo 6

Finalmente, vamos somar as segundas derivadas parciais para encontrar o Laplaciano de nabla^2 f(x, y) = partial^2 fpartial x^2 + partial^2 fpartial y^2 = 12x^2 + (-12y^2) = 12x^2 - 12y^2 .

Resposta

O Laplaciano de nabla^2 f(x, y) = 12x^2 - 12y^2 é:

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