Se
admite derivadas parciais até
ordem, chama-se Laplaciano de
a função
Calcule
para as seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre o Laplaciano de uma função de duas variáveis. O Laplaciano, representado por
, é a soma das segundas derivadas parciais da função em relação a
e
. Basicamente, ele nos dá uma ideia de como a função está curvando em cada direção. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais de segunda ordem de
em relação a
e
e somá-las.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a primeira derivada parcial de
em relação a
.
A função é:
Derivando em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de
em relação a
.
Derivando novamente a primeira derivada:
Passo 4
Em seguida, vamos calcular a primeira derivada parcial de
em relação a
.
Derivando a função original em relação a
:
Passo 5
Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de
em relação a
.
Derivando novamente a primeira derivada:
Passo 6
Finalmente, vamos somar as segundas derivadas parciais para encontrar o Laplaciano de
.
Resposta
O Laplaciano de
é:
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Se
admite derivadas parciais até
ordem, chama-se Laplaciano de
a função
Calcule
para as seguintes funções:
.
Calcule as derivadas parciais
e
para as funções abaixo:
.
Indique os domínios das funções dadas e derive-as:
;
Calcule os limites :