Se
admite derivadas parciais até
ordem, chama-se Laplaciano de
a função
Calcule
para as seguintes funções:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o Laplaciano da função
. O Laplaciano, representado por
, envolve as segundas derivadas parciais em relação a
e
. Para resolver isso, vamos precisar conhecer como calcular derivadas parciais e aplicar a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a primeira derivada parcial de
em relação a
. A função é
, onde
. Usaremos a regra da cadeia, que diz que a derivada de
em relação a
é
vezes a derivada de
em relação a
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Precisamos derivar novamente
em relação a
:
Aplicando a regra do produto:
Passo 4
Vamos fazer o mesmo para a derivada parcial em relação a
. Primeiro, calculamos a primeira derivada parcial de
em relação a
:
Passo 5
Agora, calculamos a segunda derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
:
Aplicando a regra do produto:
Passo 6
Finalmente, somamos as duas segundas derivadas parciais para obter o Laplaciano:
Simplificando:
Resposta
O Laplaciano de
é
Exercícios relacionados
Calcule as derivadas parciais
e
para as funções abaixo:
.
Determine
quando
é a função
e
.
Se
admite derivadas parciais até
ordem, chama-se Laplaciano de
a função
Calcule
para as seguintes funções:
Indique os domínios das funções dadas e derive-as:
;