Se admite derivadas parciais até ordem, chama-se Laplaciano de a função
Calcule para as seguintes funções: .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o Laplaciano da função . O Laplaciano, representado por , envolve as segundas derivadas parciais em relação a e . Para resolver isso, vamos precisar conhecer como calcular derivadas parciais e aplicar a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada parcial de em relação a . A função é , onde . Usaremos a regra da cadeia, que diz que a derivada de em relação a é vezes a derivada de em relação a .

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de em relação a , ou seja, . Precisamos derivar novamente em relação a :
Aplicando a regra do produto:

Passo 4

Vamos fazer o mesmo para a derivada parcial em relação a . Primeiro, calculamos a primeira derivada parcial de em relação a :

Passo 5

Agora, calculamos a segunda derivada parcial de em relação a , ou seja, :
Aplicando a regra do produto:

Passo 6

Finalmente, somamos as duas segundas derivadas parciais para obter o Laplaciano:
Simplificando:

Resposta

O Laplaciano de é

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Calcule as derivadas parciais e para as funções abaixo: .
Determine quando é a função e .
Se admite derivadas parciais até ordem, chama-se Laplaciano de a função
Calcule para as seguintes funções:
Indique os domínios das funções dadas e derive-as:
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