Se f(x, y) admite derivadas parciais até 2^ a ordem, chama-se Laplaciano de f a função
nabla^2 f(x, y)=partial^2 fpartial x^2(x, y)+partial^2 fpartial y^2(x, y)
Calcule nabla^2 f para as seguintes funções: f(x, y)=sen(x^2-y^2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o Laplaciano da função . O Laplaciano, representado por , envolve as segundas derivadas parciais em relação a e . Para resolver isso, vamos precisar conhecer como calcular derivadas parciais e aplicar a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada parcial de partial fpartial x = cos(x^2 - y^2) cdot partialpartial x(x^2 - y^2) = cos(x^2 - y^2) cdot 2x em relação a . A função é , onde . Usaremos a regra da cadeia, que diz que a derivada de em relação a é vezes a derivada de em relação a .

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de partial^2 fpartial x^2 = partialpartial x(2x cos(x^2 - y^2)) em relação a partial^2 fpartial x^2 = 2 cos(x^2 - y^2) + 2x cdot (-sin(x^2 - y^2) cdot 2x) = 2 cos(x^2 - y^2) - 4x^2 sin(x^2 - y^2) , ou seja, . Precisamos derivar novamente em relação a :
Aplicando a regra do produto:

Passo 4

Vamos fazer o mesmo para a derivada parcial em relação a partial fpartial y = cos(x^2 - y^2) cdot partialpartial y(x^2 - y^2) = cos(x^2 - y^2) cdot (-2y) = -2y cos(x^2 - y^2) . Primeiro, calculamos a primeira derivada parcial de em relação a :

Passo 5

Agora, calculamos a segunda derivada parcial de partial^2 fpartial y^2 = partialpartial y(-2y cos(x^2 - y^2)) em relação a partial^2 fpartial y^2 = -2 cos(x^2 - y^2) + (-2y) cdot (-sin(x^2 - y^2) cdot (-2y)) = -2 cos(x^2 - y^2) - 4y^2 sin(x^2 - y^2) , ou seja, :
Aplicando a regra do produto:

Passo 6

Finalmente, somamos as duas segundas derivadas parciais para obter o Laplaciano:
nabla^2 f(x, y) = partial^2 fpartial x^2 + partial^2 fpartial y^2 = (2 cos(x^2 - y^2) - 4x^2 sin(x^2 - y^2)) + (-2 cos(x^2 - y^2) - 4y^2 sin(x^2 - y^2))
Simplificando:
nabla^2 f(x, y) = -4(x^2 + y^2) sin(x^2 - y^2)

Resposta

O Laplaciano de nabla^2 f(x, y) = -4(x^2 + y^2) sin(x^2 - y^2) é

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