Calcule as derivadas parciais, partial zpartial x e partial zpartial y : z=cos (y^2-4 x)

Passo 1

Então, a gente tem uma função e precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e . Isso faz parte do estudo de cálculo multivariável, onde a gente analisa como a função muda quando varia uma das variáveis mantendo a outra constante. Para resolver, vamos precisar usar a regra da cadeia, que ajuda a derivar funções compostas.

Passo 2

Vamos começar encontrando a derivada parcial de partial zpartial x = ddu cos(u) cdot partial upartial x em relação a partial zpartial x = -sin(y^2 - 4x) cdot (-4) = 4 sin(y^2 - 4x) , ou seja, .
Primeiro, identifique a função interna dentro do cosseno: . Agora, a derivada de em relação a usando a regra da cadeia é:
Sabemos que e . Então:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de partial zpartial y = ddu cos(u) cdot partial upartial y em relação a partial zpartial y = -sin(y^2 - 4x) cdot 2y = -2y sin(y^2 - 4x) , ou seja, .
Novamente, usando , aplicamos a regra da cadeia:
Sabemos que e . Então:

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial x = 4 sin(y^2 - 4x)
partial zpartial y = -2y sin(y^2 - 4x)

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