Calcule as derivadas parciais partial zpartial x e partial zpartial y de: z=e^raizx y;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular as derivadas parciais e da função . Isso envolve cálculo de derivadas parciais, que é parte do cálculo diferencial. Para resolver, vamos usar a regra da cadeia e as propriedades das derivadas de funções exponenciais e radicais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de z = e^raizxy em relação a partial zpartial x = e^u cdot partial upartial x , ou seja, u = (xy)^12 .
Temos:
partial upartial x = 12 (xy)^-12 cdot y = y2raizxy = raizy2raizx
Vamos usar a regra da cadeia. Seja partial zpartial x = e^raizxy cdot raizy2raizx , então .
A derivada de em relação a é:
Agora, calculamos :
Aplicando a regra da potência e a regra do produto:
Substituindo de volta na expressão de :

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de partial zpartial y = e^u cdot partial upartial y em relação a u = (xy)^12 , ou seja, partial upartial y = 12 (xy)^-12 cdot x = x2raizxy = raizx2raizy .
Novamente, usamos a regra da cadeia com partial zpartial y = e^raizxy cdot raizx2raizy , então .
A derivada de em relação a é:
Calculando :
Aplicando a regra da potência e a regra do produto:
Substituindo de volta na expressão de :

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial x = raizy2raizx , e^raizxy
e
partial zpartial y = raizx2raizy , e^raizxy

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