Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno dos eixos especificados: x = y - y^2, x = 0; ao redor do eixo y

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para encontrarmos o volume do sólido que resulta da rotação da área limitada pelas curvas e em torno do eixo . Vamos usar cálculo integral, especificamente o método de discos ou cascas cilíndricas, para resolver esse problema.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quais são as curvas que delimitam a região. Temos e . A curva pode ser reescrita como , que é uma parábola aberta para a esquerda. A outra curva é o eixo , ou seja, .

Passo 3

Vamos encontrar os pontos de interseção dessas duas curvas para determinar os limites de integração. Igualando , temos:
Portanto, os limites de integração são de a .

Passo 4

Como vamos rotacionar em torno do eixo , vamos usar o método dos discos. A fórmula para o volume usando esse método é:
Onde é a função que descreve a distância do eixo de rotação até a curva.

Passo 5

Aqui, é a função . Então, substituindo na fórmula:

Passo 6

Vamos expandir a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 7

Agora, vamos integrar termo a termo:

Passo 8

Somando os resultados das integrais:

Resposta

O volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada é:
ú

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