Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno dos eixos especificados:
; ao redor do eixo
Passo 1
Beleza, o enunciado pede para encontrarmos o volume do sólido que resulta da rotação da área limitada pelas curvas
e
em torno do eixo
. Vamos usar cálculo integral, especificamente o método de discos ou cascas cilíndricas, para resolver esse problema.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quais são as curvas que delimitam a região. Temos
e
. A curva
pode ser reescrita como
, que é uma parábola aberta para a esquerda. A outra curva é o eixo
, ou seja,
.
Passo 3
Vamos encontrar os pontos de interseção dessas duas curvas para determinar os limites de integração. Igualando
, temos:
Portanto, os limites de integração são de
a
.
Passo 4
Como vamos rotacionar em torno do eixo
, vamos usar o método dos discos. A fórmula para o volume usando esse método é:
Onde
é a função que descreve a distância do eixo de rotação até a curva.
Passo 5
Aqui,
é a função
. Então, substituindo na fórmula:
Passo 6
Vamos expandir a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 7
Agora, vamos integrar termo a termo:
Passo 8
Somando os resultados das integrais:
Resposta
O volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada é: