Uma fábrica produz mensalmente unidades de um produto A e unidades de um produto B , sendo o lucro mensal da produção conjunta dado por:
Num certo mês foram produzidas 2.000 unidades de A e 1.000 unidades de B. O que é mais conveniente, a partir desta situação aumentar a produção de A mantendo constante a de , ou aumentar a de B mantendo constante a de A? Justifique.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma fábrica que produz dois produtos, A e B, com quantidades mensais e respectivamente. O lucro mensal dessa produção conjunta é dado pela função:
Queremos descobrir se é melhor aumentar a produção de A mantendo B constante ou aumentar a produção de B mantendo A constante, com base na situação atual onde e .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas parciais, que ajudam a entender como o lucro muda quando ajustamos a quantidade de um dos produtos enquanto mantemos o outro constante.

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada parcial da função lucro em relação a . Isso nos dirá como o lucro muda quando aumentamos a produção de A, mantendo a produção de B constante.
A derivada parcial de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a . Isso nos mostrará como o lucro muda quando aumentamos a produção de B, mantendo a produção de A constante.
A derivada parcial de em relação a é:

Passo 4

Agora vamos avaliar essas derivadas parciais nos valores atuais de produção: e .
Primeiro, calculamos o denominador comum:
Agora, substituímos nos valores das derivadas:
Para :
Para :

Passo 5

Com as derivadas parciais calculadas, podemos interpretar os resultados:
  • : Isso significa que, para cada unidade adicional de A produzida, o lucro aumenta em R$1, mantendo B constante.
  • : Isso significa que, para cada unidade adicional de B produzida, o lucro aumenta em R$2, mantendo A constante.

Resposta

É mais conveniente aumentar a produção de B mantendo a de A constante, pois o lucro aumenta mais (R$2 por unidade) comparado ao aumento da produção de A (R$1 por unidade).

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Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno dos eixos especificados: ; ao redor do eixo
Calcule as derivadas parciais de: ;
Calcule os limites :
Uma fábrica produz mensalmente unidades de um produto A e unidades de um produto B , sendo o lucro mensal da produção conjunta dado por:
Num certo mês foram produzidas 2.000 unidades de A e 1.000 unidades de B. Calcule e nesse mês;