Uma fábrica produz mensalmente
unidades de um produto A e
unidades de um produto B , sendo o lucro mensal da produção conjunta dado por:
Num certo mês foram produzidas 2.000 unidades de A e 1.000 unidades de B. O que é mais conveniente, a partir desta situação aumentar a produção de A mantendo constante a de
, ou aumentar a de B mantendo constante a de A? Justifique.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma fábrica que produz dois produtos, A e B, com quantidades mensais
e
respectivamente. O lucro mensal dessa produção conjunta é dado pela função:
Queremos descobrir se é melhor aumentar a produção de A mantendo B constante ou aumentar a produção de B mantendo A constante, com base na situação atual onde
e
.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas parciais, que ajudam a entender como o lucro muda quando ajustamos a quantidade de um dos produtos enquanto mantemos o outro constante.
Passo 2
Vamos começar calculando a derivada parcial da função lucro
em relação a
. Isso nos dirá como o lucro muda quando aumentamos a produção de A, mantendo a produção de B constante.
A derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. Isso nos mostrará como o lucro muda quando aumentamos a produção de B, mantendo a produção de A constante.
A derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 4
Agora vamos avaliar essas derivadas parciais nos valores atuais de produção:
e
.
Primeiro, calculamos o denominador comum:
Agora, substituímos nos valores das derivadas:
Para
:
Para
:
Passo 5
Com as derivadas parciais calculadas, podemos interpretar os resultados:
-
: Isso significa que, para cada unidade adicional de A produzida, o lucro aumenta em R$1, mantendo B constante. -
: Isso significa que, para cada unidade adicional de B produzida, o lucro aumenta em R$2, mantendo A constante.
Resposta
É mais conveniente aumentar a produção de B mantendo a de A constante, pois o lucro aumenta mais (R$2 por unidade) comparado ao aumento da produção de A (R$1 por unidade).
Exercícios relacionados
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno dos eixos especificados:
; ao redor do eixo
Calcule as derivadas parciais
de:
;
Calcule os limites :
Uma fábrica produz mensalmente
unidades de um produto A e
unidades de um produto B , sendo o lucro mensal da produção conjunta dado por:
Num certo mês foram produzidas 2.000 unidades de A e 1.000 unidades de B. Calcule
e
nesse mês;