Calcule as derivadas parciais de primeira ordem da função f, isto é, partial fpartial x(x, y) e partial fpartial y(x, y), onde:
(d) f(x, y)=e^yx ln (x^2y)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função em relação a e . Para isso, vamos precisar aplicar conceitos de derivação de funções compostas, a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Vamos calcular a derivada parcial de u(x, y) = e^yx em relação a v(x, y) = ln (x^2y) , ou seja, .
A função pode ser escrita como o produto de duas funções:
Aplicaremos a regra do produto, que diz que a derivada de é .

Passo 3

Primeiro, vamos encontrar u = e^yx .
Temos:
partial upartial x = e^yx cdot partialpartial x ( yx )
A derivada da função exponencial com uma função no expoente é:
partialpartial x ( yx ) = -yx^2
Calculamos a derivada de partial upartial x = e^yx cdot ( -yx^2 ) = -yx^2 e^yx em relação a :
Portanto:

Passo 4

Agora, vamos encontrar v = ln ( x^2y ) = ln(x^2) - ln(y) = 2ln(x) - ln(y) .
Temos:
partial vpartial x = 2x
A derivada de em relação a é , e a derivada de em relação a é zero, já que é tratada como uma constante.
Portanto:

Passo 5

Aplicando a regra do produto:
partial fpartial x = partial upartial x cdot v + u cdot partial vpartial x
Substituindo os valores encontrados:
partial fpartial x = ( -yx^2 e^yx ) ln ( x^2y ) + e^yx cdot 2x

Passo 6

Agora, vamos calcular a derivada parcial de partial fpartial y = partial upartial y cdot v + u cdot partial vpartial y em relação a , ou seja, .
Usando novamente e , aplicamos a regra do produto:

Passo 7

Primeiro, encontramos u = e^yx .
Temos:
partial upartial y = e^yx cdot partialpartial y ( yx ) = e^yx cdot 1x = 1x e^yx
A derivada da função exponencial é:

Passo 8

Agora, encontramos v = ln ( x^2y ) .
Temos:
partial vpartial y = partialpartial y ( 2ln(x) - ln(y) ) = -1y
A derivada de em relação a é:

Passo 9

Aplicando a regra do produto:
partial fpartial y = 1x e^yx cdot ln ( x^2y ) + e^yx cdot ( -1y )
Simplificando:
partial fpartial y = 1x e^yx ln ( x^2y ) - 1y e^yx

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função partial fpartial x(x, y) = -yx^2 e^yx ln ( x^2y ) + 2x e^yx são:
partial fpartial y(x, y) = 1x e^yx ln ( x^2y ) - 1y e^yx

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