Calcule as derivadas parciais de primeira ordem da função
, isto é,
e
, onde:
(d)
(d)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função
em relação a
e
. Para isso, vamos precisar aplicar conceitos de derivação de funções compostas, a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 2
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
A função pode ser escrita como o produto de duas funções:
Aplicaremos a regra do produto, que diz que a derivada de
é
.
Passo 3
Primeiro, vamos encontrar
.
Temos:
A derivada da função exponencial com uma função no expoente é:
Calculamos a derivada de
em relação a
:
Portanto:
Passo 4
Agora, vamos encontrar
.
Temos:
A derivada de
em relação a
é
, e a derivada de
em relação a
é zero, já que
é tratada como uma constante.
Portanto:
Passo 5
Aplicando a regra do produto:
Substituindo os valores encontrados:
Passo 6
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Usando novamente
e
, aplicamos a regra do produto:
Passo 7
Primeiro, encontramos
.
Temos:
A derivada da função exponencial é:
Passo 8
Agora, encontramos
.
Temos:
A derivada de
em relação a
é:
Passo 9
Aplicando a regra do produto:
Simplificando:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função
são: