Seja
(b) Use a definição para calcular
e
.
(b) Use a definição para calcular
Passo 1
Então, a gente tem uma função
definida de um jeito especial no ponto
. O exercício pede para calcular as derivadas parciais de
em relação a
e a
nesse ponto usando a definição de derivada parcial. Para isso, vamos precisar entender o que são derivadas parciais e como aplicar a definição delas para encontrar essas derivadas no ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada parcial. A derivada parcial de
em relação a
no ponto
é o limite que mostra como a função muda quando a gente varia
mantendo
fixo. A definição matemática disso é:
Vamos calcular esse limite passo a passo.
Passo 3
Vamos substituir
e
na expressão. Sabemos que quando
, a função fica:
E
. Então, a expressão fica:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a
. A definição é:
Vamos substituir
e
na expressão.
Passo 5
Quando
, a função fica:
E
. Então, a expressão fica:
Passo 6
Observamos que o limite
não existe porque, se
se aproxima de 0 pelo lado positivo, o limite tende a
, e se
se aproxima pelo lado negativo, tende a
. Portanto, a derivada parcial em relação a
no ponto
não existe.
Resposta
A derivada parcial de
em relação a
no ponto
é igual a
, e a derivada parcial em relação a
no mesmo ponto não existe.
Exercícios relacionados
Nos itens (a) até (
), encontre as derivadas parciais indicadas:
e
.
Uma indústria vai produzir 10.000 caixas fechadas de papelão com dimensões de 3 cm , 4 cm e 5 cm . O custo do papelão a ser usado é de 50 centavos por
. Se as máquinas usadas para cortar os pedaços de papelão cometerem um erro possível de
em cada dimensão, encontrar aproximadamente o máximo erro possível na estimativa do custo do papelão.
(5) Encontre as derivadas parciais: para
.