Seja f(x, y)=ccx^3-y^2x^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)
(b) Use a definição para calcular partial fpartial x(0,0) e partial fpartial y(0,0).

Passo 1

Então, a gente tem uma função definida de um jeito especial no ponto . O exercício pede para calcular as derivadas parciais de em relação a e a nesse ponto usando a definição de derivada parcial. Para isso, vamos precisar entender o que são derivadas parciais e como aplicar a definição delas para encontrar essas derivadas no ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada parcial. A derivada parcial de partial fpartial x(0,0) = limh to 0 f(h, 0) - f(0, 0)h em relação a no ponto é o limite que mostra como a função muda quando a gente varia mantendo fixo. A definição matemática disso é:
Vamos calcular esse limite passo a passo.

Passo 3

Vamos substituir f(x, 0) = x^3 - 0^2x^2 + 0^2 = x^3x^2 = x e partial fpartial x(0,0) = limh to 0 h - 0h = limh to 0 1 = 1 na expressão. Sabemos que quando , a função fica:
E . Então, a expressão fica:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a partial fpartial y(0,0) = limk to 0 f(0, k) - f(0, 0)k . A definição é:
Vamos substituir e na expressão.

Passo 5

Quando f(0, y) = 0^3 - y^20^2 + y^2 = -y^2y^2 = -1 , a função fica:
partial fpartial y(0,0) = limk to 0 -1 - 0k = limk to 0 -1k
E . Então, a expressão fica:

Passo 6

Observamos que o limite não existe porque, se se aproxima de 0 pelo lado positivo, o limite tende a , e se se aproxima pelo lado negativo, tende a . Portanto, a derivada parcial em relação a no ponto não existe.

Resposta

A derivada parcial de em relação a no ponto é igual a , e a derivada parcial em relação a no mesmo ponto não existe.

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