Seja
(b) Use a definição para calcular e .

Passo 1

Então, a gente tem uma função definida de um jeito especial no ponto . O exercício pede para calcular as derivadas parciais de em relação a e a nesse ponto usando a definição de derivada parcial. Para isso, vamos precisar entender o que são derivadas parciais e como aplicar a definição delas para encontrar essas derivadas no ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada parcial. A derivada parcial de em relação a no ponto é o limite que mostra como a função muda quando a gente varia mantendo fixo. A definição matemática disso é:
Vamos calcular esse limite passo a passo.

Passo 3

Vamos substituir e na expressão. Sabemos que quando , a função fica:
E . Então, a expressão fica:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a . A definição é:
Vamos substituir e na expressão.

Passo 5

Quando , a função fica:
E . Então, a expressão fica:

Passo 6

Observamos que o limite não existe porque, se se aproxima de 0 pelo lado positivo, o limite tende a , e se se aproxima pelo lado negativo, tende a . Portanto, a derivada parcial em relação a no ponto não existe.

Resposta

A derivada parcial de em relação a no ponto é igual a , e a derivada parcial em relação a no mesmo ponto não existe.

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Nos itens (a) até ( ), encontre as derivadas parciais indicadas: e .
Uma indústria vai produzir 10.000 caixas fechadas de papelão com dimensões de 3 cm , 4 cm e 5 cm . O custo do papelão a ser usado é de 50 centavos por . Se as máquinas usadas para cortar os pedaços de papelão cometerem um erro possível de em cada dimensão, encontrar aproximadamente o máximo erro possível na estimativa do custo do papelão.
(5) Encontre as derivadas parciais: para .