Uma indústria vai produzir 10.000 caixas fechadas de papelão com dimensões de 3 cm , 4 cm e 5 cm . O custo do papelão a ser usado é de 50 centavos por
. Se as máquinas usadas para cortar os pedaços de papelão cometerem um erro possível de
em cada dimensão, encontrar aproximadamente o máximo erro possível na estimativa do custo do papelão.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre calcular o erro na estimativa do custo do papelão usado para fabricar caixas. A matéria que vamos usar é diferenciais e estimativas de erro, que nos ajuda a entender como pequenas variações nas medidas podem afetar o custo final. Vamos precisar saber as dimensões das caixas, o custo por área de papelão e o possível erro nas medidas das dimensões.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a área total de uma caixa fechada. Uma caixa tem 6 faces: 2 de cada dimensão. As dimensões são 3 cm, 4 cm e 5 cm. Então, a área total (A) de uma caixa é:
Passo 3
Calculando cada parte:
Então, a área total de uma caixa é 94 cm².
Passo 4
Agora, vamos considerar o erro nas dimensões. Cada dimensão pode ter um erro de até 0,05 cm. Para estimar o erro na área, usamos diferenciais. A fórmula geral para o erro na área (dA) é:
Onde
cm,
cm,
cm, e
cm.
Passo 5
Calculando as derivadas parciais:
Então,
Passo 6
Esse é o erro na área de uma caixa. Como vamos produzir 10.000 caixas, o erro total na área é:
Passo 7
Agora, vamos calcular o erro no custo. O custo por cm² é de R$0,50. Então, o erro no custo é:
Resposta
O erro máximo possível na estimativa do custo do papelão é de aproximadamente R$12.000.
Exercícios relacionados
Seja
(b) Use a definição para calcular e
.
(b) Use a definição para calcular
(5) Encontre as derivadas parciais: para
.
Nos exercícios de (1) a (5), encontre a derivada indicada, pelos dois métodos: (a) Use a regra da cadeia e depois faça a substituição. (b) Faça a substituição de
e
antes de diferenciar. (1)
. Encontrar:
e
.