Uma indústria vai produzir 10.000 caixas fechadas de papelão com dimensões de 3 cm , 4 cm e 5 cm . O custo do papelão a ser usado é de 50 centavos por . Se as máquinas usadas para cortar os pedaços de papelão cometerem um erro possível de em cada dimensão, encontrar aproximadamente o máximo erro possível na estimativa do custo do papelão.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre calcular o erro na estimativa do custo do papelão usado para fabricar caixas. A matéria que vamos usar é diferenciais e estimativas de erro, que nos ajuda a entender como pequenas variações nas medidas podem afetar o custo final. Vamos precisar saber as dimensões das caixas, o custo por área de papelão e o possível erro nas medidas das dimensões.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a área total de uma caixa fechada. Uma caixa tem 6 faces: 2 de cada dimensão. As dimensões são 3 cm, 4 cm e 5 cm. Então, a área total (A) de uma caixa é:

Passo 3

Calculando cada parte:
²
Então, a área total de uma caixa é 94 cm².

Passo 4

Agora, vamos considerar o erro nas dimensões. Cada dimensão pode ter um erro de até 0,05 cm. Para estimar o erro na área, usamos diferenciais. A fórmula geral para o erro na área (dA) é:
Onde cm, cm, cm, e cm.

Passo 5

Calculando as derivadas parciais:
Então,
²

Passo 6

Esse é o erro na área de uma caixa. Como vamos produzir 10.000 caixas, o erro total na área é:
²²

Passo 7

Agora, vamos calcular o erro no custo. O custo por cm² é de R$0,50. Então, o erro no custo é:
²²

Resposta

O erro máximo possível na estimativa do custo do papelão é de aproximadamente R$12.000.

Exercícios relacionados

Seja
(b) Use a definição para calcular e .
(5) Encontre as derivadas parciais: para .
Nos exercícios de (1) a (5), encontre a derivada indicada, pelos dois métodos: (a) Use a regra da cadeia e depois faça a substituição. (b) Faça a substituição de e antes de diferenciar. (1) . Encontrar: e .