Nos itens (a) até ( e ), encontre as derivadas parciais indicadas: z=tg(y+k x)+sec ^2(y+k x) ; partial zpartial x e partial zpartial y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisa encontrar as derivadas parciais e . Isso está relacionado a cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais de funções que dependem de mais de uma variável. Vamos precisar usar a regra da cadeia e saber derivar funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar ddx tan(u) = sec^2(u) cdot dudx . Observa que dentro das funções trigonométricas temos ddx tan(u) = k cdot sec^2(y + kx) , que depende de .
Para derivar em relação a , usamos a regra da cadeia:
Sabendo que , fica:

Passo 3

Agora, vamos derivar ddx sec^2(u) = 2sec(u)cdot sec(u)tan(u) cdot dudx = 2sec^2(u)tan(u) cdot k em relação a ddx sec^2(y + kx) = 2k cdot sec^2(y + kx) tan(y + kx) . Novamente, aplicamos a regra da cadeia:
Substituindo :

Passo 4

Agora, somamos as derivadas das duas partes da função partial zpartial x = k cdot sec^2(y + kx) + 2k cdot sec^2(y + kx) tan(y + kx) :

Passo 5

Em seguida, vamos encontrar ddy tan(u) = sec^2(u) cdot dudy . Novamente, ddy tan(u) = sec^2(y + kx) agora depende de .
Derivando em relação a :
Como , temos:

Passo 6

Derivando ddy sec^2(u) = 2sec^2(u)tan(u) cdot dudy = 2sec^2(y + kx) tan(y + kx) em relação a :

Resposta

Portanto, as derivadas parciais são:
partial zpartial x = k cdot sec^2(y + kx) + 2k cdot sec^2(y + kx) tan(y + kx)
partial zpartial y = sec^2(y + kx) + 2 cdot sec^2(y + kx) tan(y + kx)

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