Nos itens (a) até ( ), encontre as derivadas parciais indicadas: e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisa encontrar as derivadas parciais e . Isso está relacionado a cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais de funções que dependem de mais de uma variável. Vamos precisar usar a regra da cadeia e saber derivar funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar . Observa que dentro das funções trigonométricas temos , que depende de .
Para derivar em relação a , usamos a regra da cadeia:
Sabendo que , fica:

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação a . Novamente, aplicamos a regra da cadeia:
Substituindo :

Passo 4

Agora, somamos as derivadas das duas partes da função :

Passo 5

Em seguida, vamos encontrar . Novamente, agora depende de .
Derivando em relação a :
Como , temos:

Passo 6

Derivando em relação a :

Resposta

Portanto, as derivadas parciais são:

Exercícios relacionados

O estudo das integrais de linha e de superfície podem ser empregado na avaliação de trabalho realizado por campos vetoriais, por fluxos de campos entre regiões, entre outras aplicações.
Nesse contexto, considere o campo vetorial definido por:
Calcule o trabalho realizado por esse campo vetorial para movimentar um objeto do ponto até o ponto , seguindo o caminho descrito pela curva , no plano, e assinale a alternativa que apresenta o resultado correto:
Dados: fórmulas
  • Integrais de linha
*Lembre-se que é possível estender para o espaço cartesiano (tridimensional).
A)
.
B)
.
C)
.
D)
.
E)
.
Nos itens (a) até ( ), encontre as derivadas parciais indicadas: .
Seja
(b) Use a definição para calcular e .