Calcule as derivadas parciais de primeira ordem da função de quatro variáveis
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função
. Isso está na matéria de Cálculo Diferencial, especificamente sobre derivadas parciais de funções de várias variáveis. Para resolver isso, vamos precisar saber como diferenciar funções que dependem de mais de uma variável usando a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. A função
é um produto de
e
, então precisamos usar a regra do produto:
Agora, vamos derivar cada parte.
Passo 3
Derivando
em relação a
:
E derivando
em relação a
usando a regra da cadeia:
Agora, substituímos de volta na expressão original:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Usamos o mesmo raciocínio:
Passo 5
Vamos agora para a derivada parcial em relação a
,
:
Passo 6
Por último, calculamos a derivada parcial em relação a
,
:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função
são:
Exercícios relacionados
Para a função abaixo, mostre que
, mas
. Justifique porque ocorre este fenômeno.
Em quais intervalos do conjunto dos números reais
as funções abaixo são contínuas ?
(f)
(f)
Mostre que o plano horizontal
é o plano tangente ao paraboloide
em
.
Mostre que
não é diferenciável em
.