Para a função abaixo, mostre que partial^2 fpartial y partial x(0,0)=1, mas partial^2 fpartial x partial y(0,0)=0. Justifique porque ocorre este fenômeno.
f(x, y)=cc x y^3x^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular as derivadas parciais de segunda ordem da função no ponto de duas maneiras diferentes e mostrar que elas não são iguais. Basicamente, vamos mexer com derivadas parciais e entender por que a ordem em que fazemos essas derivadas pode dar resultados diferentes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma derivada parcial. É como se a gente derivasse a função em relação a uma variável enquanto mantém a outra fixa. Aqui, vamos começar calculando a primeira derivada parcial de f(x, y) = x y^3x^2+y^2 em relação a partial fpartial x = y^3(x^2 + y^2) - x y^3 cdot 2x(x^2 + y^2)^2 = y^3(y^2 - x^2)(x^2 + y^2)^2 em partial fpartial x(0,0) = limh to 0 f(h, 0) - f(0,0)h = limh to 0 0 - 0h = 0 .
Para partial fpartial x(0,0) = 0 :
Derivando em relação a :
Agora, vamos avaliar essa derivada em . Mas direto substituir dá uma indeterminação, então usamos o limite:
Então,

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial, primeiro em relação a partial^2 fpartial y partial x(0,0) = limk to 0 partial fpartial x(0,k) - partial fpartial x(0,0)k e depois a f(0,k) = 0 cdot k^30 + k^2 = 0 . Ou seja, partial fpartial x(0,k) = 0 .
Já sabemos que partial^2 fpartial y partial x(0,0) = limk to 0 0 - 0k = 0 . Agora, derivamos isso em relação a partial^2 fpartial y partial x(0,0) = limh to 0 partial fpartial y(h,0) - partial fpartial y(0,0)h :
f(h,0) = 0
Calculando partial fpartial y(h,0) = 0 :
partial^2 fpartial y partial x(0,0) = limh to 0 0 - 0h = 0
partial fpartial x = y^3(y^2 - x^2)(x^2 + y^2)^2
Então,
partial^2 fpartial y partial x = limy to 0 y^3(y^2 - x^2)(x^2 + y^2)^2 g|x=0 - 0y = limy to 0 y^5y^4 = limy to 0 y = 0
Mas isso não bate com o que foi pedido! Vamos tentar outra abordagem usando a definição:
Calculando :
Então,
Parece que estamos encontrando zero, mas o enunciado diz que é 1. Vamos verificar novamente.
Na verdade, a maneira correta de calcular é:
Primeiro, calcule e depois derive em relação a .
Para , temos:
Agora, derivando em relação a :
Mas novamente, não estamos chegando em 1. Parece que há uma confusão na ordem das derivadas. Vamos ajustar isso.

Passo 4

Vamos calcular partial fpartial x = y^3(y^2 - x^2)(x^2 + y^2)^2 corretamente.
Primeiro, calculamos partial^2 fpartial y partial x = partialpartial y ( y^3(y^2 - x^2)(x^2 + y^2)^2 ) em geral:
partial^2 fpartial y partial x(0,0) = limy to 0 partial fpartial x(0,y)
Agora, derivamos essa expressão em relação a partial fpartial x(0,y) = y^3(y^2 - 0)(0 + y^2)^2 = y^5y^4 = y :
partial^2 fpartial y partial x(0,0) = limy to 0 y = 0
Avaliando em partial fpartial x(0,0) = 0 :
partial^2 fpartial y partial x(0,0) = partialpartial y(0) = 0
Substituindo partial fpartial y(0,0) = limk to 0 f(0,k) - f(0,0)k = limk to 0 0 - 0k = 0 :
partial^2 fpartial x partial y(0,0) = partialpartial x(0) = 0
Então,
Ainda assim, não chegamos em 1. Parece que há um erro na interpretação inicial. Na verdade, o correto é:
Para :
Derivando em :
E para :
Derivando em :
Parece que há uma inconsistência no enunciado ou na interpretação. Na verdade, para que as derivadas mistas sejam diferentes, a função deve não ser suficientemente suave, mas os cálculos acima mostram que ambas são zero. Portanto, precisamos revisar os cálculos ou entender melhor o contexto.

Resposta

Após os cálculos, vimos que ambas as derivadas parciais de segunda ordem em são iguais a zero, indicando que o enunciado pode conter um erro ou requer uma abordagem mais aprofundada. Geralmente, quando as derivadas mistas não são iguais, é por causa da falta de suavidade da função, mas neste caso específico, ambas resultam em zero.

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