Para a função abaixo, mostre que , mas . Justifique porque ocorre este fenômeno.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular as derivadas parciais de segunda ordem da função no ponto de duas maneiras diferentes e mostrar que elas não são iguais. Basicamente, vamos mexer com derivadas parciais e entender por que a ordem em que fazemos essas derivadas pode dar resultados diferentes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma derivada parcial. É como se a gente derivasse a função em relação a uma variável enquanto mantém a outra fixa. Aqui, vamos começar calculando a primeira derivada parcial de em relação a em .
Para :
Derivando em relação a :
Agora, vamos avaliar essa derivada em . Mas direto substituir dá uma indeterminação, então usamos o limite:
Então,

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial, primeiro em relação a e depois a . Ou seja, .
Já sabemos que . Agora, derivamos isso em relação a :
Calculando :
Então,
Mas isso não bate com o que foi pedido! Vamos tentar outra abordagem usando a definição:
Calculando :
Então,
Parece que estamos encontrando zero, mas o enunciado diz que é 1. Vamos verificar novamente.
Na verdade, a maneira correta de calcular é:
Primeiro, calcule e depois derive em relação a .
Para , temos:
Agora, derivando em relação a :
Mas novamente, não estamos chegando em 1. Parece que há uma confusão na ordem das derivadas. Vamos ajustar isso.

Passo 4

Vamos calcular corretamente.
Primeiro, calculamos em geral:
Agora, derivamos essa expressão em relação a :
Avaliando em :
Substituindo :
Então,
Ainda assim, não chegamos em 1. Parece que há um erro na interpretação inicial. Na verdade, o correto é:
Para :
Derivando em :
E para :
Derivando em :
Parece que há uma inconsistência no enunciado ou na interpretação. Na verdade, para que as derivadas mistas sejam diferentes, a função deve não ser suficientemente suave, mas os cálculos acima mostram que ambas são zero. Portanto, precisamos revisar os cálculos ou entender melhor o contexto.

Resposta

Após os cálculos, vimos que ambas as derivadas parciais de segunda ordem em são iguais a zero, indicando que o enunciado pode conter um erro ou requer uma abordagem mais aprofundada. Geralmente, quando as derivadas mistas não são iguais, é por causa da falta de suavidade da função, mas neste caso específico, ambas resultam em zero.

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