Mostre que
não é diferenciável em
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para mostrar que a função
não é diferenciável no ponto
. Vamos trabalhar com Cálculo Diferencial Multivariável, e para isso precisamos entender o conceito de diferenciabilidade e como verificar se uma função possui essa propriedade em um determinado ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser diferenciável em um ponto. Uma função
é diferenciável em
se ela pode ser aproximada por um plano linear próximo a esse ponto. Isso envolve calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
no ponto
.
Passo 3
Vamos começar calculando as derivadas parciais de
em relação a
e
.
A derivada parcial em relação a
é:
De forma semelhante, a derivada parcial em relação a
é:
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto
.
Substituindo
e
, temos:
Isso nos leva a uma indeterminação, o que significa que as derivadas parciais não existem no ponto
.
Passo 5
A ausência das derivadas parciais implica que a função não tem um plano tangente definido em
, ou seja, não pode ser aproximada linearmente naquele ponto. Portanto, seguindo o critério de diferenciabilidade, se as derivadas parciais não existem, a função também não é diferenciável nesse ponto.
Resposta
A função
não é diferenciável no ponto
.