Mostre que o plano horizontal é o plano tangente ao paraboloide em .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz pra gente mostrar que o plano horizontal é o plano tangente ao paraboloide no ponto . A matéria envolvida aqui é cálculo multivariável, especificamente o conceito de planos tangentes a superfícies. Vamos precisar usar derivadas parciais para encontrar a equação do plano tangente e depois comparar com .
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como encontrar a equação do plano tangente a uma superfície no ponto dado. Se temos uma superfície definida por , a equação do plano tangente no ponto é:
Aqui, e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente.
Passo 3
Vamos aplicar isso ao nosso paraboloide . Primeiro, identificamos . O ponto de tangência é , então , , e .
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas parciais:
No ponto , temos:
Passo 5
Substituindo na fórmula do plano tangente:
Resposta
Portanto, o plano tangente ao paraboloide no ponto é exatamente o plano horizontal .