Mostre que o plano horizontal
é o plano tangente ao paraboloide
em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz pra gente mostrar que o plano horizontal
é o plano tangente ao paraboloide
no ponto
. A matéria envolvida aqui é cálculo multivariável, especificamente o conceito de planos tangentes a superfícies. Vamos precisar usar derivadas parciais para encontrar a equação do plano tangente e depois comparar com
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como encontrar a equação do plano tangente a uma superfície no ponto dado. Se temos uma superfície definida por
, a equação do plano tangente no ponto
é:
Aqui,
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
, respectivamente.
Passo 3
Vamos aplicar isso ao nosso paraboloide
. Primeiro, identificamos
. O ponto de tangência é
, então
,
, e
.
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas parciais:
No ponto
, temos:
Passo 5
Substituindo na fórmula do plano tangente:
Resposta
Portanto, o plano tangente ao paraboloide
no ponto
é exatamente o plano horizontal
.