Mostre que o plano horizontal é o plano tangente ao paraboloide em .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz pra gente mostrar que o plano horizontal é o plano tangente ao paraboloide no ponto . A matéria envolvida aqui é cálculo multivariável, especificamente o conceito de planos tangentes a superfícies. Vamos precisar usar derivadas parciais para encontrar a equação do plano tangente e depois comparar com .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como encontrar a equação do plano tangente a uma superfície no ponto dado. Se temos uma superfície definida por , a equação do plano tangente no ponto é:
Aqui, e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente.

Passo 3

Vamos aplicar isso ao nosso paraboloide . Primeiro, identificamos . O ponto de tangência é , então , , e .

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas parciais:
No ponto , temos:

Passo 5

Substituindo na fórmula do plano tangente:

Resposta

Portanto, o plano tangente ao paraboloide no ponto é exatamente o plano horizontal .

Exercícios relacionados

Calcule as derivadas parciais de primeira ordem da função de quatro variáveis .
Para a função abaixo, mostre que , mas . Justifique porque ocorre este fenômeno.
Mostre que não é diferenciável em .
Esboce o gráfico da função:
(l) Para quais valores de a função é contínua ?