Em quais intervalos do conjunto dos números reais as funções abaixo são contínuas ?
(f)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para descobrir em quais intervalos dos números reais a função é contínua. Vamos precisar entender o que é continuidade de uma função e analisar os componentes dessa função para ver onde ela pode falhar em ser contínua.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua. Uma função é contínua em um ponto se não houver “saltos” ou “interrupções” em seu gráfico nesse ponto. Para funções racionais e trigonométricas, como essa, precisamos verificar onde o denominador não é zero e onde a função trigonométrica está definida.

Passo 3

Olhemos para o denominador da nossa função: . Queremos garantir que isso nunca seja zero, porque divisão por zero não é permitida. Vamos resolver:
Não existe nenhum número real que satisfaça essa equação, já que o quadrado de um número real é sempre positivo ou zero. Portanto, o denominador nunca é zero para nenhum número real.

Passo 4

Agora, vamos analisar a função trigonométrica , que é a tangente de x. A tangente é definida como:
Sabemos que a tangente tem descontinuidades onde , ou seja, nos pontos onde x é um múltiplo ímpar de :
Nesses pontos, a tangente não está definida, causando uma descontinuidade na função original.

Passo 5

Como o denominador da nossa função nunca é zero e a única fonte de descontinuidade vem da tangente, concluímos que é contínua em todos os números reais, exceto onde a tangente não está definida.

Resposta

A função é contínua para todos os números reais , exceto nos pontos onde , com inteiro.

Exercícios relacionados

Para as funções abaixo, calcule e e verifique se é válida a conclusão do Teorema de Schwarz.
(d)
Em quais intervalos do conjunto dos números reais as funções abaixo são contínuas ?
(a)
Para a função abaixo, mostre que , mas . Justifique porque ocorre este fenômeno.
Calcule as derivadas parciais de primeira ordem da função de quatro variáveis .