Determinai a origem e o raio das cascas esféricas descritas pelas equações abaixo.
c)
.
c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos a origem e o raio de uma esfera dada pela equação
. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente relacionados às equações das esferas. Precisamos completar o quadrado para encontrar as coordenadas do centro e calcular o raio.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação da esfera agrupando os termos semelhantes:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para as variáveis
e
. Completar o quadrado ajuda a transformar a equação geral da esfera na forma padrão, que é
, onde
é o centro e
é o raio.
Passo 4
Começando com o termo de
:
Para completar o quadrado, pegamos metade do coeficiente de
(-10/2 = -5) e elevamos ao quadrado (
). Adicionamos e subtraímos 25:
Isso se torna:
Passo 5
Fazendo o mesmo para o termo de
:
Metade do coeficiente de
é 8, e elevando ao quadrado fica 64. Adicionamos e subtraímos 64:
Isso se torna:
Passo 6
Substituímos essas expressões de volta na equação original:
Passo 7
Agora, vamos simplificar os termos constantes:
Então, a equação fica:
Passo 8
Isolamos os termos quadráticos:
Passo 9
Agora, a equação está na forma padrão da esfera:
Aqui, o centro da esfera
é
e o raio
é 6.
Resposta
A esfera tem centro na origem
e raio igual a 6 unidades.
Exercícios relacionados
Sendo
e
pontos no espaço, determinai a distância entre eles.
d) e
.
d)
Calcule as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo. Determine o domínio (da função e das derivadas).
Seja
uma função que satisfaz
(i) , para todo
,
(ii) , para todo
.
Determine .
(i)
(ii)
Determine
Determinai a origem e o raio das cascas esféricas descritas pelas equações abaixo.
e) .
e)