Determinai a origem e o raio das cascas esféricas descritas pelas equações abaixo.
c) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos a origem e o raio de uma esfera dada pela equação . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente relacionados às equações das esferas. Precisamos completar o quadrado para encontrar as coordenadas do centro e calcular o raio.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação da esfera agrupando os termos semelhantes:

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para as variáveis e . Completar o quadrado ajuda a transformar a equação geral da esfera na forma padrão, que é , onde é o centro e é o raio.

Passo 4

Começando com o termo de :
Para completar o quadrado, pegamos metade do coeficiente de (-10/2 = -5) e elevamos ao quadrado ( ). Adicionamos e subtraímos 25:
Isso se torna:

Passo 5

Fazendo o mesmo para o termo de :
Metade do coeficiente de é 8, e elevando ao quadrado fica 64. Adicionamos e subtraímos 64:
Isso se torna:

Passo 6

Substituímos essas expressões de volta na equação original:

Passo 7

Agora, vamos simplificar os termos constantes:
Então, a equação fica:

Passo 8

Isolamos os termos quadráticos:

Passo 9

Agora, a equação está na forma padrão da esfera:
Aqui, o centro da esfera é e o raio é 6.

Resposta

A esfera tem centro na origem e raio igual a 6 unidades.

Exercícios relacionados

Sendo e pontos no espaço, determinai a distância entre eles.
d) e .
Calcule as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo. Determine o domínio (da função e das derivadas).
Seja uma função que satisfaz
(i) , para todo ,
(ii) , para todo .
Determine .
Determinai a origem e o raio das cascas esféricas descritas pelas equações abaixo.
e) .