Calcule as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo. Se houver um ponto indicado, calcule-as nesse ponto:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de derivadas parciais juntos! A questão pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função . Isso envolve entender como mudar
em relação a
mantendo
constante, e vice-versa. Vamos precisar usar as regras de derivação para funções exponenciais e trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Quando derivamos em relação a
, tratamos
como uma constante.
A função é .
A derivada de
em relação a
é
(usando a regra da cadeia), e é uma constante em relação a
. Então:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Desta vez, tratamos
como uma constante.
A função é .
Para derivar em relação a
, usamos a regra do produto, já que temos
multiplicado por :
Calculando cada parte:
-
(regra da cadeia)
Então:
Podemos fatorar
para simplificar:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função são:
e