Calcule as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo. Se houver um ponto indicado, calcule-as nesse ponto:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de derivadas parciais juntos! A questão pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função . Isso envolve entender como mudar em relação a mantendo constante, e vice-versa. Vamos precisar usar as regras de derivação para funções exponenciais e trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Quando derivamos em relação a , tratamos como uma constante.
A função é .
A derivada de em relação a é (usando a regra da cadeia), e é uma constante em relação a . Então:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Desta vez, tratamos como uma constante.
A função é .
Para derivar em relação a , usamos a regra do produto, já que temos multiplicado por :
Calculando cada parte:
  1. (regra da cadeia)
Então:
Podemos fatorar para simplificar:

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:
e

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Seja
Usando a definição de derivadas parciais, calcule e .
Esboçar o gráfico:
(a) Supondo que a bola continua a pular indefinidamente, calcule a distância total que ela percorre. (Use o fato de que a bola cai metros em segundos.)
(b) Calcule o tempo total que a bola pula.
© Suponha que, cada vez que a bola atingir a superfície com velocidade , ela rebaterá com velocidade , onde . Quanto tempo levará para a bola parar?
Considere uma função tal que e . Com base nesses dados, estime o valor de: