Calcule as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo. Se houver um ponto indicado, calcule-as nesse ponto:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de derivadas parciais juntos! A questão pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função . Isso envolve entender como mudar
em relação a
mantendo
constante, e vice-versa. Vamos precisar usar as regras de derivação para funções exponenciais e trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Quando derivamos em relação a
, tratamos
como uma constante.
A função é .
A derivada de
em relação a
é
(usando a regra da cadeia), e é uma constante em relação a
. Então:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Desta vez, tratamos
como uma constante.
A função é .
Para derivar em relação a
, usamos a regra do produto, já que temos
multiplicado por :
Calculando cada parte:
-
(regra da cadeia)
Então:
Podemos fatorar
para simplificar:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função são:
e
Exercícios relacionados
Seja
Usando a definição de derivadas parciais, calcule e
.
Usando a definição de derivadas parciais, calcule
Esboçar o gráfico:
(a) Supondo que a bola continua a pular indefinidamente, calcule a distância total que ela percorre. (Use o fato de que a bola cai
metros em
segundos.)
(b) Calcule o tempo total que a bola pula.
© Suponha que, cada vez que a bola atingir a superfície com velocidade , ela rebaterá com velocidade
, onde
. Quanto tempo levará para a bola parar?
(b) Calcule o tempo total que a bola pula.
© Suponha que, cada vez que a bola atingir a superfície com velocidade
Considere uma função
tal que
e
. Com base nesses dados, estime o valor de: