Considere uma função tal que e . Com base nesses dados, estime o valor de:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma função e alguns valores específicos: , as derivadas parciais e . Nosso objetivo é estimar o valor de . Para isso, vamos usar o conceito de aproximação linear (ou linearização), que é uma maneira de estimar o valor de uma função em um ponto próximo usando as derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que estamos mudando apenas a variável , passando de 15 para 14,5, ou seja, uma variação de . A variável permanece constante em 10, então não temos variação em .

Passo 3

A aproximação linear nos diz que a mudança na função pode ser aproximada por:
Isso significa que a variação em é aproximadamente igual à derivada parcial de em relação a multiplicada pela variação em .

Passo 4

Vamos calcular a variação em :
Note que os dois sinais negativos se cancelam, resultando em um aumento de 0,25 na função.

Passo 5

Agora, somamos essa variação ao valor inicial da função para estimar :

Resposta

Portanto, a estimativa de é 8,25.

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