Esboçar o gráfico:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer esboçar o gráfico da função
. Isso envolve conhecimentos de geometria analítica, especialmente sobre superfícies no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos entender como essa função se comporta em relação aos valores de
e
e como representá-la graficamente.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a expressão dentro da raiz quadrada:
. Isso se parece com a equação de um círculo no plano
, mas com um termo constante adicional. A raiz quadrada dessa soma nos dá uma distância modificada a partir da origem.
Passo 3
A função
basicamente nos dá valores negativos para todas as combinações de
e
. Isso significa que, em vez de subir para cima, o gráfico vai descer para baixo a partir de certos pontos.
Passo 4
Para esboçar o gráfico, vamos considerar alguns pontos específicos:
- Quando
e : - Quando
e : - Quando
e :
Passo 5
Observamos que à medida que
e
aumentam, o valor dentro da raiz
também aumenta, fazendo com que
se torne mais negativo. Isso indica que o gráfico se estende para baixo conforme nos afastamos da origem.
Passo 6
O gráfico dessa função é uma superfície conhecida como paraboloide hiperbólico invertido. Ele é similar a uma “colina” que está de cabeça para baixo, centralizada na origem, e se estende para baixo infinitamente à medida que
e
se afastam.
Passo 7
Para esboçar, desenhe um eixo tridimensional com
,
e
. Na origem, o ponto mais alto (menos negativo) é
. A partir daí, desenhe curvas circulares que se afastam da origem, cada uma descendo mais à medida que o raio aumenta.
Resposta
O gráfico de
é um paraboloide hiperbólico invertido, centralizado na origem, que se estende para baixo no espaço tridimensional à medida que
e
aumentam.