Esboçar o gráfico: f(x, y) = -raiz(x^2 + y^2 + 1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer esboçar o gráfico da função . Isso envolve conhecimentos de geometria analítica, especialmente sobre superfícies no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos entender como essa função se comporta em relação aos valores de e e como representá-la graficamente.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão dentro da raiz quadrada: . Isso se parece com a equação de um círculo no plano , mas com um termo constante adicional. A raiz quadrada dessa soma nos dá uma distância modificada a partir da origem.

Passo 3

A função basicamente nos dá valores negativos para todas as combinações de e . Isso significa que, em vez de subir para cima, o gráfico vai descer para baixo a partir de certos pontos.

Passo 4

Para esboçar o gráfico, vamos considerar alguns pontos específicos:
  • Quando e :
  • Quando e :
  • Quando e :

Passo 5

Observamos que à medida que e aumentam, o valor dentro da raiz também aumenta, fazendo com que se torne mais negativo. Isso indica que o gráfico se estende para baixo conforme nos afastamos da origem.

Passo 6

O gráfico dessa função é uma superfície conhecida como paraboloide hiperbólico invertido. Ele é similar a uma “colina” que está de cabeça para baixo, centralizada na origem, e se estende para baixo infinitamente à medida que e se afastam.

Passo 7

Para esboçar, desenhe um eixo tridimensional com , e . Na origem, o ponto mais alto (menos negativo) é . A partir daí, desenhe curvas circulares que se afastam da origem, cada uma descendo mais à medida que o raio aumenta.

Resposta

O gráfico de é um paraboloide hiperbólico invertido, centralizado na origem, que se estende para baixo no espaço tridimensional à medida que e aumentam.

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