Seja
Usando a definição de derivadas parciais, calcule
e
.
Usando a definição de derivadas parciais, calcule
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função de duas variáveis,
, e precisa calcular as derivadas parciais dessa função em um ponto específico, que é
. Isso significa que vamos encontrar como a função muda em relação a
mantendo
constante, e vice-versa. Para isso, vamos usar a definição de derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, que chamamos de
. A definição da derivada parcial em relação a
é:
Nesse caso,
e
. Vamos aplicar isso à nossa função:
Passo 3
Vamos calcular
:
E
:
Substituindo na fórmula da derivada:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, que chamamos de
. A definição é semelhante:
Usando
e
:
Passo 5
Vamos calcular
:
E
como já calculamos.
Substituindo na fórmula da derivada:
Resposta
A derivada parcial de
em
no ponto
é
e a derivada parcial em
é
.
Exercícios relacionados
Esboçar o gráfico:
Identificar as superficies definidas pelas equaçőes, dizendo ao longo de que eixo elas ocorrem (quando possivel), conforme o caso:
Calcule as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo. Se houver um ponto indicado, calcule-as nesse ponto:
(a) Supondo que a bola continua a pular indefinidamente, calcule a distância total que ela percorre. (Use o fato de que a bola cai
metros em
segundos.)
(b) Calcule o tempo total que a bola pula.
© Suponha que, cada vez que a bola atingir a superfície com velocidade , ela rebaterá com velocidade
, onde
. Quanto tempo levará para a bola parar?
(b) Calcule o tempo total que a bola pula.
© Suponha que, cada vez que a bola atingir a superfície com velocidade