Seja
Usando a definição de derivadas parciais, calcule e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função de duas variáveis, , e precisa calcular as derivadas parciais dessa função em um ponto específico, que é . Isso significa que vamos encontrar como a função muda em relação a mantendo constante, e vice-versa. Para isso, vamos usar a definição de derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , que chamamos de . A definição da derivada parcial em relação a é:
Nesse caso, e . Vamos aplicar isso à nossa função:

Passo 3

Vamos calcular :
E :
Substituindo na fórmula da derivada:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , que chamamos de . A definição é semelhante:
Usando e :

Passo 5

Vamos calcular :
E como já calculamos.
Substituindo na fórmula da derivada:

Resposta

A derivada parcial de em no ponto é e a derivada parcial em é .

Exercícios relacionados

Esboçar o gráfico:
Identificar as superficies definidas pelas equaçőes, dizendo ao longo de que eixo elas ocorrem (quando possivel), conforme o caso:
Calcule as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo. Se houver um ponto indicado, calcule-as nesse ponto:
(a) Supondo que a bola continua a pular indefinidamente, calcule a distância total que ela percorre. (Use o fato de que a bola cai metros em segundos.)
(b) Calcule o tempo total que a bola pula.
© Suponha que, cada vez que a bola atingir a superfície com velocidade , ela rebaterá com velocidade , onde . Quanto tempo levará para a bola parar?