Seja f(x, y) = 2*x*y^2
Usando a definição de derivadas parciais, calcule f_x(3,1) e fy(3,1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função de duas variáveis, , e precisa calcular as derivadas parciais dessa função em um ponto específico, que é . Isso significa que vamos encontrar como a função muda em relação a mantendo constante, e vice-versa. Para isso, vamos usar a definição de derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , que chamamos de . A definição da derivada parcial em relação a é:
Nesse caso, e . Vamos aplicar isso à nossa função:

Passo 3

Vamos calcular :
E :
Substituindo na fórmula da derivada:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , que chamamos de . A definição é semelhante:
Usando e :

Passo 5

Vamos calcular :
E como já calculamos.
Substituindo na fórmula da derivada:

Resposta

A derivada parcial de em no ponto é e a derivada parcial em é .

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