(a) Supondo que a bola continua a pular indefinidamente, calcule a distância total que ela percorre. (Use o fato de que a bola cai metros em segundos.)
(b) Calcule o tempo total que a bola pula.
© Suponha que, cada vez que a bola atingir a superfície com velocidade , ela rebaterá com velocidade , onde . Quanto tempo levará para a bola parar?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício de Física sobre o movimento de uma bola que está pulando. A gente vai precisar usar conceitos de cinemática, especialmente as equações que descrevem o movimento uniformemente acelerado. Para resolver as partes (a), (b) e ©, vamos precisar entender como a bola se move para cima e para baixo, calcular a distância total percorrida, o tempo total de movimento e o tempo que leva para a bola parar completamente após cada quique.

Passo 2

Começando pela parte (a): Queremos calcular a distância total que a bola percorre assumindo que ela pula indefinidamente. Sabemos que a distância que a bola cai em um tempo é dada por , onde é a aceleração da gravidade.

Passo 3

Para encontrar a distância total, precisamos somar todas as distâncias que a bola percorre em cada subida e descida. Como a bola está pulando indefinidamente, estamos lidando com uma série infinita.

Passo 4

A cada quique, a altura máxima que a bola atinge diminui pela metade, já que a energia está sendo dissipada e a próxima subida é sempre menor. Isso significa que a distância percorrida em cada ciclo (subida e descida) forma uma progressão geométrica.

Passo 5

A soma de uma série geométrica infinita onde a razão é menor que 1 é dada por , onde é o primeiro termo. No nosso caso, seria a distância do primeiro ciclo e .

Passo 6

Vamos calcular a distância do primeiro ciclo. A bola sobe até uma altura e depois desce a mesma distância, totalizando . Sabemos que .

Passo 7

Substituindo na expressão da distância total, temos:

Passo 8

Portanto, a distância total que a bola percorre é metros.

Passo 9

Chegando à parte (b): Queremos calcular o tempo total que a bola pula. Considerando que a bola pula indefinidamente, o tempo total tende ao infinito porque a bola nunca para de pular.

Passo 10

Finalmente, na parte ©: A cada vez que a bola atinge a superfície com velocidade , ela rebate com velocidade , onde . Queremos saber quanto tempo levará para a bola parar.

Passo 11

A velocidade após cada quique diminui por um fator de , então temos uma série geométrica para os tempos de cada subida e descida. A soma dessa série também tende ao infinito, mas o tempo efetivo para a bola parar é o limite quando a velocidade se aproxima de zero.

Passo 12

No entanto, matematicamente, como , somando infinitos termos de tempo, o tempo total também tende ao infinito. Portanto, a bola nunca para completamente, mas convergirá para um tempo finito em termos práticos.

Resposta

(a) A distância total que a bola percorre é metros.
(b) O tempo total que a bola pula tende ao infinito.
© O tempo para a bola parar completamente também tende ao infinito.

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