(a) Supondo que a bola continua a pular indefinidamente, calcule a distância total que ela percorre. (Use o fato de que a bola cai
metros em
segundos.)
(b) Calcule o tempo total que a bola pula.
© Suponha que, cada vez que a bola atingir a superfície com velocidade
, ela rebaterá com velocidade
, onde
. Quanto tempo levará para a bola parar?
(b) Calcule o tempo total que a bola pula.
© Suponha que, cada vez que a bola atingir a superfície com velocidade
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício de Física sobre o movimento de uma bola que está pulando. A gente vai precisar usar conceitos de cinemática, especialmente as equações que descrevem o movimento uniformemente acelerado. Para resolver as partes (a), (b) e ©, vamos precisar entender como a bola se move para cima e para baixo, calcular a distância total percorrida, o tempo total de movimento e o tempo que leva para a bola parar completamente após cada quique.
Passo 2
Começando pela parte (a): Queremos calcular a distância total que a bola percorre assumindo que ela pula indefinidamente. Sabemos que a distância que a bola cai em um tempo
é dada por
, onde
é a aceleração da gravidade.
Passo 3
Para encontrar a distância total, precisamos somar todas as distâncias que a bola percorre em cada subida e descida. Como a bola está pulando indefinidamente, estamos lidando com uma série infinita.
Passo 4
A cada quique, a altura máxima que a bola atinge diminui pela metade, já que a energia está sendo dissipada e a próxima subida é sempre menor. Isso significa que a distância percorrida em cada ciclo (subida e descida) forma uma progressão geométrica.
Passo 5
A soma de uma série geométrica infinita onde a razão
é menor que 1 é dada por
, onde
é o primeiro termo. No nosso caso,
seria a distância do primeiro ciclo e
.
Passo 6
Vamos calcular a distância do primeiro ciclo. A bola sobe até uma altura
e depois desce a mesma distância, totalizando
. Sabemos que
.
Passo 7
Substituindo
na expressão da distância total, temos:
Passo 8
Portanto, a distância total que a bola percorre é
metros.
Passo 9
Chegando à parte (b): Queremos calcular o tempo total que a bola pula. Considerando que a bola pula indefinidamente, o tempo total tende ao infinito porque a bola nunca para de pular.
Passo 10
Finalmente, na parte ©: A cada vez que a bola atinge a superfície com velocidade
, ela rebate com velocidade
, onde
. Queremos saber quanto tempo levará para a bola parar.
Passo 11
A velocidade após cada quique diminui por um fator de
, então temos uma série geométrica para os tempos de cada subida e descida. A soma dessa série também tende ao infinito, mas o tempo efetivo para a bola parar é o limite quando a velocidade se aproxima de zero.
Passo 12
No entanto, matematicamente, como
, somando infinitos termos de tempo, o tempo total também tende ao infinito. Portanto, a bola nunca para completamente, mas convergirá para um tempo finito em termos práticos.
Resposta
(a) A distância total que a bola percorre é
metros.
(b) O tempo total que a bola pula tende ao infinito.
© O tempo para a bola parar completamente também tende ao infinito.
(b) O tempo total que a bola pula tende ao infinito.
© O tempo para a bola parar completamente também tende ao infinito.
Exercícios relacionados
Calcule as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo. Se houver um ponto indicado, calcule-as nesse ponto:
Seja
Usando a definição de derivadas parciais, calcule e
.
Usando a definição de derivadas parciais, calcule
Considere uma função
tal que
e
. Com base nesses dados, estime o valor de:
Resolva os problemas de valor inicial usando a transformada de Laplace: