Calcule as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo. Se houver um ponto indicado, calcule-as nesse ponto:
seny
Passo 1
Beleza, vamos resolver as derivadas parciais de primeira ordem da função . Aqui, estamos trabalhando com cálculo de derivadas parciais, ou seja, derivadas em relação a uma variável mantendo a outra constante. Para isso, vamos precisar aplicar as regras de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Quando derivamos em relação a
, tratamos
como uma constante.
Passo 3
A função é um produto de
e . Como não depende de
, podemos tratá-la como uma constante durante a derivação. Então, a derivada parcial em relação a
é:
Passo 4
Para derivar
em relação a
, usamos a regra da cadeia. A derivada de
em relação a
é
, multiplicado pela derivada de
em relação a
, onde
. Então:
Passo 5
Substituindo de volta na expressão da derivada parcial:
Passo 6
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Desta vez, tanto
quanto dependem de
, então usaremos a regra do produto.
Passo 7
Aplicando a regra do produto:
Passo 8
Derivando
em relação a
:
E derivando em relação a
:
Passo 9
Substituindo de volta na expressão da derivada parcial:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função são:
e