Calcule as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo. Se houver um ponto indicado, calcule-as nesse ponto: f(x, y) = e^(x y) seny

Passo 1

Beleza, vamos resolver as derivadas parciais de primeira ordem da função . Aqui, estamos trabalhando com cálculo de derivadas parciais, ou seja, derivadas em relação a uma variável mantendo a outra constante. Para isso, vamos precisar aplicar as regras de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Quando derivamos em relação a , tratamos como uma constante.

Passo 3

A função é um produto de e . Como não depende de , podemos tratá-la como uma constante durante a derivação. Então, a derivada parcial em relação a é:

Passo 4

Para derivar em relação a , usamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a é , multiplicado pela derivada de em relação a , onde . Então:

Passo 5

Substituindo de volta na expressão da derivada parcial:

Passo 6

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Desta vez, tanto quanto dependem de , então usaremos a regra do produto.

Passo 7

Aplicando a regra do produto:

Passo 8

Derivando em relação a :
E derivando em relação a :

Passo 9

Substituindo de volta na expressão da derivada parcial:

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:
e

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