Determine a massa e o centro de massa de lâmina que ocupa aa região e tem função densidade : é uma região triangular com vértices
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de massa e centro de massa de uma lâmina. A questão está no conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente em integrais duplas para determinar massa e centro de massa. Vamos precisar entender como integrar sobre a região D, que é um triângulo com vértices em (0,0), (1,1) e (4,0), e usar a função densidade .
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular a massa da lâmina. A massa é dada pela integral dupla da função densidade sobre a região D:
Como , a fórmula fica:
Passo 3
Para integrar sobre a região D, vamos primeiro entender os limites de integração. O triângulo tem vértices em (0,0), (1,1) e (4,0). Vamos dividir a região em duas partes para facilitar a integração.
Passo 4
Observando o triângulo, a linha que conecta (0,0) a (1,1) tem a equação , e a linha que conecta (1,1) a (4,0) pode ser encontrada calculando a inclinação:
Então, a equação da linha é:
Passo 5
Portanto, para integrar em termos de y, para cada x entre 0 e 4, y varia de 0 até:
De x = 0 a x =1, y vai de 0 até y = x
De x =1 a x =4, y vai de 0 até y = -x +
Passo 6
Agora, podemos expressar a massa como duas integrais:
Passo 7
Calculando a primeira integral:
Passo 8
Calculando a segunda integral:
Passo 9
Somando as duas partes, a massa total é:
Passo 10
Agora, vamos encontrar o centro de massa, que tem coordenadas . As fórmulas são:
Como , temos:
Passo 11
Primeiro, calculamos :
Passo 12
Agora, calculamos :
Passo 13
Em seguida, calculamos :
Passo 14
Finalmente, calculamos :
Resposta
A massa da lâmina é unidades de massa, e o centro de massa está nas coordenadas .