Determine a massa e o centro de massa de lâmina que ocupa aa região D e tem função densidade rho: D é uma região triangular com vértices (0,0), (1,1), (4,0) ; rho(x, y) = x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de massa e centro de massa de uma lâmina. A questão está no conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente em integrais duplas para determinar massa e centro de massa. Vamos precisar entender como integrar sobre a região D, que é um triângulo com vértices em (0,0), (1,1) e (4,0), e usar a função densidade .

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular a massa da lâmina. A massa é dada pela integral dupla da função densidade sobre a região D:
Como , a fórmula fica:

Passo 3

Para integrar sobre a região D, vamos primeiro entender os limites de integração. O triângulo tem vértices em (0,0), (1,1) e (4,0). Vamos dividir a região em duas partes para facilitar a integração.

Passo 4

Observando o triângulo, a linha que conecta (0,0) a (1,1) tem a equação , e a linha que conecta (1,1) a (4,0) pode ser encontrada calculando a inclinação:
Então, a equação da linha é:

Passo 5

Portanto, para integrar em termos de y, para cada x entre 0 e 4, y varia de 0 até:
  • De x = 0 a x =1, y vai de 0 até y = x
  • De x =1 a x =4, y vai de 0 até y = - x +

Passo 6

Agora, podemos expressar a massa como duas integrais:

Passo 7

Calculando a primeira integral:

Passo 8

Calculando a segunda integral:

Passo 9

Somando as duas partes, a massa total é:

Passo 10

Agora, vamos encontrar o centro de massa, que tem coordenadas . As fórmulas são:
Como , temos:

Passo 11

Primeiro, calculamos :

Passo 12

Agora, calculamos :

Passo 13

Em seguida, calculamos :

Passo 14

Finalmente, calculamos :

Resposta

A massa da lâmina é unidades de massa, e o centro de massa está nas coordenadas .

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