Utilize as coordenadas esféricas. Calcule , onde E está contido entre as esferas
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para calcular a integral tripla de sobre a região que está entre duas esferas: uma de raio 1 e outra de raio 2. Para resolver isso, vamos usar coordenadas esféricas, que são super úteis para trabalhar com esferas. Vamos precisar entender como converter coordenadas cartesianas para esféricas e como expressar a integral nessa nova coordenada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como ficam as coordenadas esféricas:
Aqui, é a distância do ponto à origem, é o ângulo com o eixo z, e é o ângulo no plano xy.
Passo 3
A região rho = 1 e rho = 2 está entre duas esferas:
Então, vai variar de 1 a 2. Como as esferas são completas, vai de 0 a e vai de 0 a .
Passo 4
A integral tripla em coordenadas esféricas fica:
integral triplaE z , dV = integral0^2pi integral0^pi integral1^2 (rho cosphi) cdot rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta
Aqui, e .
Passo 5
Vamos simplificar a integral:
integral triplaE z , dV = integral0^2pi dtheta cdot integral0^pi rho^3 cosphi sinphi , dphi cdot integral1^2 drho
Passo 6
Calculando cada parte separadamente:
Integral em integral1^2 rho^3 , drho = [ rho^44 ]1^2 = 164 - 14 = 154 :