Utilize as coordenadas esféricas. Calcule integral triplaE z d v, onde E está contido entre as esferas
x^2+y^2+z^2=1 e x^2+widey^2+z^2=4

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para calcular a integral tripla de sobre a região que está entre duas esferas: uma de raio 1 e outra de raio 2. Para resolver isso, vamos usar coordenadas esféricas, que são super úteis para trabalhar com esferas. Vamos precisar entender como converter coordenadas cartesianas para esféricas e como expressar a integral nessa nova coordenada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como ficam as coordenadas esféricas:
x = rho sinphi costheta y = rho sinphi sintheta z = rho cosphi
Aqui, é a distância do ponto à origem, é o ângulo com o eixo z, e é o ângulo no plano xy.

Passo 3

A região rho = 1 e rho = 2 está entre duas esferas:
Então, vai variar de 1 a 2. Como as esferas são completas, vai de 0 a e vai de 0 a .

Passo 4

A integral tripla em coordenadas esféricas fica:
integral triplaE z , dV = integral0^2pi integral0^pi integral1^2 (rho cosphi) cdot rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta
Aqui, e .

Passo 5

Vamos simplificar a integral:
integral triplaE z , dV = integral0^2pi dtheta cdot integral0^pi rho^3 cosphi sinphi , dphi cdot integral1^2 drho

Passo 6

Calculando cada parte separadamente:
  1. Integral em integral1^2 rho^3 , drho = [ rho^44 ]1^2 = 164 - 14 = 154 :
integral0^pi cosphi sinphi , dphi = 12 integral0^pi sin(2phi) , dphi = 0
  1. Integral em integral0^2pi dtheta = 2pi :
Essa parte dá zero porque a função é simétrica e se cancela no intervalo.
  1. Integral em :

Passo 7

Multiplicando tudo:
integral triplaE z , dV = 2pi cdot 0 cdot 154 = 0

Resposta

A integral tripla é igual a 0.

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