Calcule as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo. Se houver um ponto indicado, calcule-as nesse ponto:
Passo 1
Vamos ver o que o exercício pede. Precisamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função
. Além disso, foi indicado o ponto
, então vamos calcular as derivadas nesse ponto. Para isso, vamos usar as regras de derivação parcial e o cálculo de derivadas de funções compostas.
Passo 2
Primeiramente, vamos lembrar que a derivada parcial de
em relação a
, denotada por
, é a derivada de
considerando
como constante. Da mesma forma, a derivada parcial em relação a
,
, é a derivada de
considerando
como constante.
Passo 3
Vamos calcular
. Para isso, derivamos
em relação a
:
Usamos a regra do produto: se
e
, então
.
Calculando
, porque derivando
em relação a
, tratamos
como constante.
Calculando
: derivamos
em relação a
, que é
.
Logo,
.
Simplificando,
.
Passo 4
Agora, vamos calcular
. Derivamos
em relação a
.
Novamente, usamos a regra do produto:
e
.
Então,
.
Calculando
, pois derivando
em relação a
, tratamos
como constante.
Calculando
: derivamos
em relação a
, que é
.
Logo,
.
Simplificando,
.
Passo 5
Agora, vamos calcular as derivadas no ponto
.
Primeiro, substituímos
e
em
:
Isso simplifica para:
Sabemos que
e
, então:
Passo 6
Agora, substituímos
e
em
:
Isso simplifica para:
Sabemos que
e
, então:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem no ponto
são: