Calcule as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo. Se houver um ponto indicado, calcule-as nesse ponto: f(x, y) = x y * sen(x/y), P = (pi/2, 1)

Passo 1

Vamos ver o que o exercício pede. Precisamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função . Além disso, foi indicado o ponto , então vamos calcular as derivadas nesse ponto. Para isso, vamos usar as regras de derivação parcial e o cálculo de derivadas de funções compostas.

Passo 2

Primeiramente, vamos lembrar que a derivada parcial de em relação a , denotada por , é a derivada de considerando como constante. Da mesma forma, a derivada parcial em relação a , , é a derivada de considerando como constante.

Passo 3

Vamos calcular . Para isso, derivamos em relação a :
Usamos a regra do produto: se e , então .
Calculando , porque derivando em relação a , tratamos como constante.
Calculando : derivamos em relação a , que é .
Logo, .
Simplificando, .

Passo 4

Agora, vamos calcular . Derivamos em relação a .
Novamente, usamos a regra do produto: e .
Então, .
Calculando , pois derivando em relação a , tratamos como constante.
Calculando : derivamos em relação a , que é .
Logo, .
Simplificando, .

Passo 5

Agora, vamos calcular as derivadas no ponto .
Primeiro, substituímos e em :
Isso simplifica para:
Sabemos que e , então:

Passo 6

Agora, substituímos e em :
Isso simplifica para:
Sabemos que e , então:

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem no ponto são:

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