Considere a função de produção de Cobb-Douglas, P(K, L) = A * K^α * L^(1-α), sendo alpha uma constante 0 < alpha < 1, em função do capital K investido e do valor L da mãode-obra de uma determinada empresa ou país. Calcule as derivadas parciais dessa função.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular as derivadas parciais da função de produção de Cobb-Douglas, que é dada por . Aqui, representa o capital investido, a mão de obra, é uma constante, e é uma constante entre 0 e 1. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são derivadas parciais e como aplicá-las em funções com múltiplas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada parcial. Quando temos uma função com mais de uma variável, a derivada parcial em relação a uma dessas variáveis mostra como a função muda quando apenas essa variável varia, mantendo as outras constantes. No nosso caso, vamos calcular a derivada de em relação a e depois em relação a .

Passo 3

Vamos começar calculando a derivada parcial de em relação a . A função é . Tratando como uma constante, aplicamos a regra da potência para derivar em relação a :

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a . Dessa vez, tratamos como constante. Novamente, aplicamos a regra da potência para derivar em relação a :

Resposta

As derivadas parciais da função de produção de Cobb-Douglas são:

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