Considere a função de produção de Cobb-Douglas,
, sendo
uma constante
, em função do capital
investido e do valor
da mãode-obra de uma determinada empresa ou país. Calcule as derivadas parciais dessa função.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular as derivadas parciais da função de produção de Cobb-Douglas, que é dada por
. Aqui,
representa o capital investido,
a mão de obra,
é uma constante, e
é uma constante entre 0 e 1. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são derivadas parciais e como aplicá-las em funções com múltiplas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada parcial. Quando temos uma função com mais de uma variável, a derivada parcial em relação a uma dessas variáveis mostra como a função muda quando apenas essa variável varia, mantendo as outras constantes. No nosso caso, vamos calcular a derivada de
em relação a
e depois em relação a
.
Passo 3
Vamos começar calculando a derivada parcial de
em relação a
. A função é
. Tratando
como uma constante, aplicamos a regra da potência para derivar em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. Dessa vez, tratamos
como constante. Novamente, aplicamos a regra da potência para derivar em relação a
:
Resposta
As derivadas parciais da função de produção de Cobb-Douglas são: