Calcule as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo. Se houver um ponto indicado, calcule-as nesse ponto: f(x, y, z) = cos(ln(x * y * z^2))

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função . Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais e a regra da cadeia.

Passo 2

Vamos reescrever a função para facilitar a derivação:
Observamos que temos uma função composta, ou seja, uma função dentro de outra. Isso significa que precisaremos aplicar a regra da cadeia para derivar.

Passo 3

Derivada parcial em relação a :
Primeiro, identificamos as funções interna e externa. A função externa é , onde .
A derivada de em relação a é .
Agora, encontramos a derivada de em relação a :
Aplicando a regra da cadeia:

Passo 4

Derivada parcial em relação a :
Seguindo um processo similar:
Aplicando a regra da cadeia:

Passo 5

Derivada parcial em relação a :
Novamente, aplicamos a mesma lógica:
Aplicando a regra da cadeia:

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:

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