Calcule a integral dupla sobre a região indicada: integral duplaR x e^x y d A, em que R é definido por: 1 <= x <= 2 e 0 <= y <= 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que é integral duplaR x e^x y , dA. A região R é definida por 1 <= x <= 2 e 0 <= y <= 1. Isso significa que estamos integrando a função x e^x y sobre um retângulo no plano xy. Para resolver isso, vamos usar integrais iteradas, ou seja, integrar primeiro em relação a uma variável e depois na outra.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar em relação a y. Isso significa que vamos tratar x como uma constante durante essa parte. A integral fica:
integral0^1 x e^x y , dy

Passo 3

Para integrar x e^x y em relação a y, podemos usar uma substituição simples. Vamos considerar u = x y. Então, du = x , dy, o que simplifica a integral:
integral e^u , du = e^u + C = e^x y + C

Passo 4

Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 1:
[ e^x y ]0^1 = e^x cdot 1 - e^x cdot 0 = e^x - 1

Passo 5

Depois de integrar em relação a y, ficamos com a integral em relação a x:
integral1^2 (e^x - 1) , dx

Passo 6

Vamos agora integrar e^x - 1 em relação a x:
integral e^x , dx - integral 1 , dx = e^x - x + C

Passo 7

Aplicamos os limites de integração de 1 a 2:
[ e^x - x ]1^2 = (e^2 - 2) - (e^1 - 1) = e^2 - 2 - e + 1 = e^2 - e - 1

Resposta

A integral dupla vale e^2 - e - 1.

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