Calcule a integral dupla sobre a região indicada: , em que é definido por: e

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que é . A região é definida por e . Isso significa que estamos integrando a função sobre um retângulo no plano . Para resolver isso, vamos usar integrais iteradas, ou seja, integrar primeiro em relação a uma variável e depois na outra.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar em relação a . Isso significa que vamos tratar como uma constante durante essa parte. A integral fica:

Passo 3

Para integrar em relação a , podemos usar uma substituição simples. Vamos considerar . Então, , o que simplifica a integral:

Passo 4

Agora, aplicamos os limites de integração de a :

Passo 5

Depois de integrar em relação a , ficamos com a integral em relação a :

Passo 6

Vamos agora integrar em relação a :

Passo 7

Aplicamos os limites de integração de a :

Resposta

A integral dupla vale .

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