Calcule a integral dupla sobre a região indicada:
, em que
é definido por:
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla que é
. A região
é definida por
e
. Isso significa que estamos integrando a função
sobre um retângulo no plano
. Para resolver isso, vamos usar integrais iteradas, ou seja, integrar primeiro em relação a uma variável e depois na outra.
Passo 2
Primeiro, vamos integrar em relação a
. Isso significa que vamos tratar
como uma constante durante essa parte. A integral fica:
Passo 3
Para integrar
em relação a
, podemos usar uma substituição simples. Vamos considerar
. Então,
, o que simplifica a integral:
Passo 4
Agora, aplicamos os limites de integração de
a
:
Passo 5
Depois de integrar em relação a
, ficamos com a integral em relação a
:
Passo 6
Vamos agora integrar
em relação a
:
Passo 7
Aplicamos os limites de integração de
a
:
Resposta
A integral dupla vale
.
Exercícios relacionados
As equações de Euler são equações que podem ser escritas na forma
Mostre que existem valores constante
tais que
é uma solução da EDO anterior. Além disso mostre que
é solução da EDO se, e somente se,
, esta equação é chamada equação indicial da EDO.
Calcule as derivadas parciais de primeira ordem das funções abaixo. Se houver um ponto indicado, calcule-as nesse ponto:
Calcule a integral dupla sobre a região indicada:
, em que
é definido por:
e
Utilizando o conceito de mudança de variáveis, calcule as seguintes integrais: Considere a região do primeiro quadrante definida por
,
e
. Calcule
.