As equações de Euler são equações que podem ser escritas na forma
Mostre que existem valores constante
tais que
é uma solução da EDO anterior. Além disso mostre que
é solução da EDO se, e somente se,
, esta equação é chamada equação indicial da EDO.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem uma Equação de Euler, que é uma equação diferencial ordinária (EDO) da forma:
O que precisamos fazer é mostrar que existe um valor constante
tal que a função
seja uma solução dessa EDO. Além disso, temos que provar que essa função é solução se e somente se a equação
é satisfeita. Essa última equação é conhecida como equação indicial da EDO.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução da EDO seja da forma
, onde
é uma constante que precisamos encontrar.
Passo 3
Para encontrar
, vamos substituir
na EDO e ver quais valores de
satisfazem a equação.
Passo 4
Primeiro, calculamos as derivadas de
:
Passo 5
Agora, substituímos
,
e
na EDO:
Substituindo:
Passo 6
Vamos simplificar cada termo:
Então, a equação fica:
Passo 7
Fatorando
:
Como
nunca é zero para
, podemos dividir ambos os lados por
:
Passo 8
Agora, vamos simplificar a expressão:
Juntando os termos semelhantes:
Resposta
Portanto, existe uma constante
tal que
é solução da EDO
se e somente se
satisfaz a equação indicial: