As equações de Euler são equações que podem ser escritas na forma x^2 y'' + b x y' + c y = 0 Mostre que existem valores constante r tais que y(x) = x^r é uma solução da EDO anterior. Além disso mostre que y(x) = x^r é solução da EDO se, e somente se, r^2 + (b - 1) r + c = 0, esta equação é chamada equação indicial da EDO.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem uma Equação de Euler, que é uma equação diferencial ordinária (EDO) da forma:
O que precisamos fazer é mostrar que existe um valor constante tal que a função seja uma solução dessa EDO. Além disso, temos que provar que essa função é solução se e somente se a equação é satisfeita. Essa última equação é conhecida como equação indicial da EDO.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução da EDO seja da forma , onde é uma constante que precisamos encontrar.

Passo 3

Para encontrar , vamos substituir na EDO e ver quais valores de satisfazem a equação.

Passo 4

Primeiro, calculamos as derivadas de :

Passo 5

Agora, substituímos , e na EDO:
Substituindo:

Passo 6

Vamos simplificar cada termo:
Então, a equação fica:

Passo 7

Fatorando :
Como nunca é zero para , podemos dividir ambos os lados por :

Passo 8

Agora, vamos simplificar a expressão:
Juntando os termos semelhantes:

Resposta

Portanto, existe uma constante tal que é solução da EDO se e somente se satisfaz a equação indicial:

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