Estude a diferenciabilidade das funções dadas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente estudar se a função
é diferenciável. A função está definida de duas formas:
O conteúdo aqui envolve análise de limites, continuidade e diferenciabilidade de funções multivariáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como limites, derivadas parciais e a definição de diferenciabilidade.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função é contínua no ponto
. Uma função precisa ser contínua nesse ponto para ser diferenciável.
Para isso, calculamos o limite de
quando
se aproxima de
:
Simplificando, podemos usar coordenadas polares onde
e
. Assim:
Perceba que o limite depende do ângulo
, ou seja, diferentes caminhos de aproximação dão valores diferentes. Isso significa que o limite não existe.
Como o limite não existe, a função não é contínua em
.
Passo 3
Como a função não é contínua em
, ela não pode ser diferenciável nesse ponto. Mas, para deixar claro, vamos tentar calcular as derivadas parciais no ponto
.
A derivada parcial em relação a
é:
Esse limite não existe porque tende a
.
De forma similar, a derivada parcial em relação a
:
Esse limite também não existe porque tende a
.
Passo 4
Para uma função ser diferenciável em um ponto, ela precisa ser contínua nesse ponto e ter derivadas parciais que existam e sejam contínuas próximo a esse ponto.
Já vimos que
não é contínua em
e as derivadas parciais não existem nesse ponto. Portanto, a função não é diferenciável em
.
Resposta
A função
não é diferenciável no ponto
.
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