Estude a diferenciabilidade das funções dadas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente estudar se a função é diferenciável. A função está definida de duas formas:
O conteúdo aqui envolve análise de limites, continuidade e diferenciabilidade de funções multivariáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como limites, derivadas parciais e a definição de diferenciabilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função é contínua no ponto . Uma função precisa ser contínua nesse ponto para ser diferenciável.
Para isso, calculamos o limite de quando se aproxima de :
Simplificando, podemos usar coordenadas polares onde e . Assim:
Perceba que o limite depende do ângulo , ou seja, diferentes caminhos de aproximação dão valores diferentes. Isso significa que o limite não existe.
Como o limite não existe, a função não é contínua em .

Passo 3

Como a função não é contínua em , ela não pode ser diferenciável nesse ponto. Mas, para deixar claro, vamos tentar calcular as derivadas parciais no ponto .
A derivada parcial em relação a é:
Esse limite não existe porque tende a .
De forma similar, a derivada parcial em relação a :
Esse limite também não existe porque tende a .

Passo 4

Para uma função ser diferenciável em um ponto, ela precisa ser contínua nesse ponto e ter derivadas parciais que existam e sejam contínuas próximo a esse ponto.
Já vimos que não é contínua em e as derivadas parciais não existem nesse ponto. Portanto, a função não é diferenciável em .

Resposta

A função não é diferenciável no ponto .

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