Calcule as derivadas parciais de primeira ordem das seguintes funções: f(x, y) = xy^2 / (y^2 - x^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função . A matéria aqui é derivadas parciais, que são usadas para ver como a função muda quando modificamos apenas uma das variáveis, mantendo a outra fixa. Vamos precisar usar as regras de derivação, como a regra do quociente e a regra do produto.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Para isso, tratamos como uma constante.
A função é um quociente, então vamos usar a regra do quociente:
onde e .
Vamos derivar e em relação a :
Agora, aplicando a regra do quociente:

Passo 3

Vamos simplificar essa expressão:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Dessa vez, tratamos como uma constante.
Novamente, aplicamos a regra do quociente:
onde e .
Derivando e em relação a :
Aplicando a regra do quociente:

Passo 5

Vamos simplificar essa expressão:

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:

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