Calcule as derivadas parciais de primeira ordem das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função
. A matéria aqui é derivadas parciais, que são usadas para ver como a função muda quando modificamos apenas uma das variáveis, mantendo a outra fixa. Vamos precisar usar as regras de derivação, como a regra do quociente e a regra do produto.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Para isso, tratamos
como uma constante.
A função é um quociente, então vamos usar a regra do quociente:
onde
e
.
Vamos derivar
e
em relação a
:
Agora, aplicando a regra do quociente:
Passo 3
Vamos simplificar essa expressão:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Dessa vez, tratamos
como uma constante.
Novamente, aplicamos a regra do quociente:
onde
e
.
Derivando
e
em relação a
:
Aplicando a regra do quociente:
Passo 5
Vamos simplificar essa expressão:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função
são:
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Nos Problemas 1-4, determine a temperatura de regime permanente
em uma placa circular de raio
considerando que a temperatura na circunferência seja conforme informado.
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4.
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3.
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Resolva o problema de Dirichlet exterior para um disco circular de raio
se
. Em outras palavras, determine a temperatura de regime permanente
em uma placa que coincide com o plano
inteiro no qual um buraco circular de raio
tenha sido feito em torno da origem e a temperatura na circunferência do buraco seja
. [Sugestão: Considere a temperatura
limitada quando
.]