Nos Problemas 1-4, determine a temperatura de regime permanente u(r, θ) em uma placa circular de raio r = 1 considerando que a temperatura na circunferência seja conforme informado.
3. u(1, theta) = 2 * pi * theta - theta^2, 0 < theta < 2 * pi

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício onde precisamos encontrar a temperatura em regime permanente, representada por , em uma placa circular com raio . A temperatura na borda dessa placa é dada por para . Para resolver isso, vamos usar o equação de Laplace em coordenadas polares e séries de Fourier para lidar com a parte angular da função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que, em coordenadas polares, a equação de Laplace para temperatura em regime permanente é:
Como a condição de contorno depende de , a solução geral para pode ser expressa como uma série de Fourier:

Passo 3

No entanto, para manter a solução limitada no interior da placa ( ), devemos excluir os termos que crescem sem limite quando se aproxima de 0. Isso significa que os coeficientes devem ser zero. Além disso, como não temos termos senoidais na condição de contorno, os coeficientes também serão zero. Assim, a solução simplifica para:

Passo 4

Agora, precisamos ajustar essa série para atender à condição de contorno . Vamos expandir em uma série de Fourier. Para funções que não são periódicas (como em ), fazemos a extensão periódica e calculamos os coeficientes da série de Fourier.
Os coeficientes são dados por:

Passo 5

Calculando os coeficientes , obtemos:
E para :

Passo 6

Substituindo os coeficientes de volta na série de Fourier, a solução para a temperatura em regime permanente é:

Resposta

A temperatura de regime permanente na placa circular é dada por:

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