Nos Problemas 1-4, determine a temperatura de regime permanente em uma placa circular de raio considerando que a temperatura na circunferência seja conforme informado.
4.

Passo 1

Beleza, vamos por partes! A gente tem uma placa circular de raio 1, e precisa achar a temperatura em qualquer ponto dentro dela, que a gente chama de . A temperatura na borda da placa é dada por para . A matéria aqui envolve equações diferenciais parciais, especificamente a equação de Laplace em coordenadas polares. Vamos precisar usar a solução geral para Laplace em coordenadas polares e adaptar às condições que a gente tem.

Passo 2

Primeiro, lembrando que a equação de Laplace em coordenadas polares é:
A solução geral para essa equação pode ser escrita como uma série de Fourier:
Como estamos lidando com uma placa de raio finito e queremos evitar soluções que cresçam indefinidamente quando vai para zero, descartamos os termos com .

Passo 3

Assim, nossa solução simplificada fica:
Agora, aplicamos a condição de contorno . Isso significa que na borda da placa ( ), a temperatura é igual a .

Passo 4

Precisamos expandir em uma série de Fourier para combinar com a forma da nossa solução. A série de Fourier para em é:
Comparando com nossa solução, vemos que apenas os termos com seno aparecem, então e para . Todos os são zero porque não há termos com cosseno na expansão de .

Passo 5

Substituindo os coeficientes na solução geral:
Essa é a expressão para a temperatura dentro da placa circular de raio 1, satisfazendo a condição de contorno dada.

Resposta

A temperatura de regime permanente na placa é dada por:

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