Nos Problemas 1-4, determine a temperatura de regime permanente
em uma placa circular de raio
considerando que a temperatura na circunferência seja conforme informado.
4.
4.
Passo 1
Beleza, vamos por partes! A gente tem uma placa circular de raio 1, e precisa achar a temperatura em qualquer ponto dentro dela, que a gente chama de
. A temperatura na borda da placa é dada por
para
. A matéria aqui envolve equações diferenciais parciais, especificamente a equação de Laplace em coordenadas polares. Vamos precisar usar a solução geral para Laplace em coordenadas polares e adaptar às condições que a gente tem.
Passo 2
Primeiro, lembrando que a equação de Laplace em coordenadas polares é:
A solução geral para essa equação pode ser escrita como uma série de Fourier:
Como estamos lidando com uma placa de raio finito e queremos evitar soluções que cresçam indefinidamente quando
vai para zero, descartamos os termos com
.
Passo 3
Assim, nossa solução simplificada fica:
Agora, aplicamos a condição de contorno
. Isso significa que na borda da placa (
), a temperatura é igual a
.
Passo 4
Precisamos expandir
em uma série de Fourier para combinar com a forma da nossa solução. A série de Fourier para
em
é:
Comparando com nossa solução, vemos que apenas os termos com seno aparecem, então
e
para
. Todos os
são zero porque não há termos com cosseno na expansão de
.
Passo 5
Substituindo os coeficientes na solução geral:
Essa é a expressão para a temperatura
dentro da placa circular de raio 1, satisfazendo a condição de contorno dada.
Resposta
A temperatura de regime permanente na placa é dada por:
Exercícios relacionados
Nos itens abaixo, calcule o limite e discuta a continuidade das funções:
Encontre a função de várias variáveis que nos dê: O volume de um cone em função da medida
de sua geratriz e de sua altura
.
Nos Problemas 1-4, determine a temperatura de regime permanente
em uma placa circular de raio
considerando que a temperatura na circunferência seja conforme informado.
Calcule as derivadas parciais de primeira ordem das seguintes funções: