Resolva o problema de Dirichlet exterior para um disco circular de raio se . Em outras palavras, determine a temperatura de regime permanente em uma placa que coincide com o plano inteiro no qual um buraco circular de raio tenha sido feito em torno da origem e a temperatura na circunferência do buraco seja . [Sugestão: Considere a temperatura limitada quando .]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de Dirichlet exterior para um disco circular. Isso significa que queremos encontrar a distribuição de temperatura, , em uma placa infinita no plano , exceto dentro de um círculo de raio . A condição dada é que na borda desse círculo, a temperatura é . Além disso, a temperatura deve se manter limitada quando nos afastamos infinitamente da origem, ou seja, quando . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais parciais, especificamente a Equação de Laplace em coordenadas polares, e também séries de Fourier para lidar com a condição na borda.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que estamos procurando uma solução estacionária para a temperatura, o que nos leva à Equação de Laplace em coordenadas polares. A Equação de Laplace é dada por:
Essa equação descreve como a temperatura se distribui em uma região onde não há fontes internas de calor.

Passo 3

Agora, vamos tentar separar as variáveis e assumindo que a solução pode ser escrita como o produto de duas funções, cada uma dependendo apenas de uma variável:
Substituindo essa forma na Equação de Laplace, obtemos uma equação que pode ser dividida em duas partes, cada uma dependente de uma única variável, permitindo encontrar soluções para e separadamente.

Passo 4

Após a separação das variáveis, chegamos a duas equações ordinárias. A solução geral para leva em conta a periodicidade da função , que se repete a cada . Portanto, expandimos em uma série de Fourier:
Isso nos permite expressar a solução como uma série de termos harmônicos, cada um correspondendo a um modo de oscilação angular.

Passo 5

Para cada termo na série de Fourier, a solução radial deve satisfazer a Equação de Laplace. As soluções que permanecem limitadas quando são aquelas que decaem com o aumento de . Portanto, a solução geral para cada modo é:
onde são constantes que serão determinadas pelas condições de contorno.

Passo 6

Agora, aplicamos a condição de contorno na borda do círculo de raio , ou seja, . Substituindo na expressão da solução geral:
Isso nos permite igualar os coeficientes das funções trigonométricas de ambos os lados e determinar os valores de .

Resposta

Finalmente, a solução para a distribuição de temperatura é dada por:
onde os coeficientes e são determinados a partir da expansão em série de Fourier da condição de contorno .

Exercícios relacionados

Nos Problemas 1-4, determine a temperatura de regime permanente em uma placa circular de raio considerando que a temperatura na circunferência seja conforme informado.
3.
Calcule as derivadas parciais de primeira ordem das seguintes funções:
Calcule .
Decida se cada uma das séries abaixo é convergente. Se possível, calcule sua soma.