Resolva o problema de Dirichlet exterior para um disco circular de raio
se
. Em outras palavras, determine a temperatura de regime permanente
em uma placa que coincide com o plano
inteiro no qual um buraco circular de raio
tenha sido feito em torno da origem e a temperatura na circunferência do buraco seja
. [Sugestão: Considere a temperatura
limitada quando
.]
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de Dirichlet exterior para um disco circular. Isso significa que queremos encontrar a distribuição de temperatura,
, em uma placa infinita no plano
, exceto dentro de um círculo de raio
. A condição dada é que na borda desse círculo, a temperatura é
. Além disso, a temperatura deve se manter limitada quando nos afastamos infinitamente da origem, ou seja, quando
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais parciais, especificamente a Equação de Laplace em coordenadas polares, e também séries de Fourier para lidar com a condição na borda.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que estamos procurando uma solução estacionária para a temperatura, o que nos leva à Equação de Laplace em coordenadas polares. A Equação de Laplace é dada por:
Essa equação descreve como a temperatura se distribui em uma região onde não há fontes internas de calor.
Passo 3
Agora, vamos tentar separar as variáveis
e
assumindo que a solução pode ser escrita como o produto de duas funções, cada uma dependendo apenas de uma variável:
Substituindo essa forma na Equação de Laplace, obtemos uma equação que pode ser dividida em duas partes, cada uma dependente de uma única variável, permitindo encontrar soluções para
e
separadamente.
Passo 4
Após a separação das variáveis, chegamos a duas equações ordinárias. A solução geral para
leva em conta a periodicidade da função
, que se repete a cada
. Portanto, expandimos
em uma série de Fourier:
Isso nos permite expressar a solução
como uma série de termos harmônicos, cada um correspondendo a um modo de oscilação angular.
Passo 5
Para cada termo na série de Fourier, a solução radial
deve satisfazer a Equação de Laplace. As soluções que permanecem limitadas quando
são aquelas que decaem com o aumento de
. Portanto, a solução geral para cada modo
é:
onde
são constantes que serão determinadas pelas condições de contorno.
Passo 6
Agora, aplicamos a condição de contorno na borda do círculo de raio
, ou seja,
. Substituindo na expressão da solução geral:
Isso nos permite igualar os coeficientes das funções trigonométricas de ambos os lados e determinar os valores de
.
Resposta
Finalmente, a solução para a distribuição de temperatura
é dada por:
onde os coeficientes
e
são determinados a partir da expansão em série de Fourier da condição de contorno
.
Exercícios relacionados
Nos Problemas 1-4, determine a temperatura de regime permanente
em uma placa circular de raio
considerando que a temperatura na circunferência seja conforme informado.
3.
3.
Calcule as derivadas parciais de primeira ordem das seguintes funções:
Calcule
.
Decida se cada uma das séries abaixo é convergente. Se possível, calcule sua soma.