Nos Problemas 1-4, determine a temperatura de regime permanente em uma placa circular de raio considerando que a temperatura na circunferência seja conforme informado.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão pede. Temos uma placa circular com raio e queremos descobrir como a temperatura se distribui nessa placa quando ela está em regime permanente, ou seja, quando a temperatura já parou de mudar com o tempo. A temperatura na borda da placa é dada de forma diferente em duas partes: de a radianos, a temperatura é , e de a radianos, a temperatura é . Para resolver isso, vamos usar a equação de Laplace em coordenadas polares e expandir a solução em uma série de Fourier.

Passo 2

Primeiro, sabemos que, em regime permanente, a temperatura satisfaz a equação de Laplace:
Como estamos trabalhando em coordenadas polares e a condição na fronteira depende apenas de , uma boa estratégia é separar as variáveis, assumindo que .

Passo 3

Ao separar as variáveis, substituímos na equação de Laplace:
Como o lado esquerdo depende apenas de e o direito apenas de , ambos devem ser iguais a uma constante, que chamaremos de . Assim, temos duas equações:

Passo 4

A solução geral para a equação de é:
Devido à periodicidade em , deve ser inteiro. Para a parte radial, a solução geral é:
Mas como queremos soluções finitas no centro ( ), descartamos o termo , então:

Passo 5

Portanto, a solução geral para a temperatura é uma série de Fourier:
Como a condição de contorno não possui termo específico que exija senos, podemos ajustar para zero se a simetria permitir.

Passo 6

Aplicamos a condição de contorno na borda :
Isso significa:

Passo 7

Para encontrar os coeficientes , usamos a série de Fourier da função de passo dada. A função é par, então apenas os termos de cosseno aparecem. Os coeficientes são dados por:
Calculando a integral:
í

Passo 8

Substituímos os coeficientes na série de Fourier:
Simplificando:

Resposta

A temperatura de regime permanente na placa é dada por:

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4.
Nos itens abaixo, calcule o limite e discuta a continuidade das funções:
Calcule as derivadas parciais de primeira ordem das seguintes funções:
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3.