Nos Problemas 1-4, determine a temperatura de regime permanente
em uma placa circular de raio
considerando que a temperatura na circunferência seja conforme informado.
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Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão pede. Temos uma placa circular com raio
e queremos descobrir como a temperatura se distribui nessa placa quando ela está em regime permanente, ou seja, quando a temperatura já parou de mudar com o tempo. A temperatura na borda da placa é dada de forma diferente em duas partes: de
a
radianos, a temperatura é
, e de
a
radianos, a temperatura é
. Para resolver isso, vamos usar a equação de Laplace em coordenadas polares e expandir a solução em uma série de Fourier.
Passo 2
Primeiro, sabemos que, em regime permanente, a temperatura
satisfaz a equação de Laplace:
Como estamos trabalhando em coordenadas polares e a condição na fronteira depende apenas de
, uma boa estratégia é separar as variáveis, assumindo que
.
Passo 3
Ao separar as variáveis, substituímos na equação de Laplace:
Como o lado esquerdo depende apenas de
e o direito apenas de
, ambos devem ser iguais a uma constante, que chamaremos de
. Assim, temos duas equações:
Passo 4
A solução geral para a equação de
é:
Devido à periodicidade em
,
deve ser inteiro. Para a parte radial, a solução geral é:
Mas como queremos soluções finitas no centro (
), descartamos o termo
, então:
Passo 5
Portanto, a solução geral para a temperatura é uma série de Fourier:
Como a condição de contorno não possui termo
específico que exija senos, podemos ajustar
para zero se a simetria permitir.
Passo 6
Aplicamos a condição de contorno na borda
:
Isso significa:
Passo 7
Para encontrar os coeficientes
, usamos a série de Fourier da função de passo dada. A função é par, então apenas os termos de cosseno aparecem. Os coeficientes
são dados por:
Calculando a integral:
Passo 8
Substituímos os coeficientes na série de Fourier:
Simplificando:
Resposta
A temperatura de regime permanente na placa é dada por:
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em uma placa circular de raio
considerando que a temperatura na circunferência seja conforme informado.
4.
4.
Nos itens abaixo, calcule o limite e discuta a continuidade das funções:
Calcule as derivadas parciais de primeira ordem das seguintes funções:
Nos Problemas 1-4, determine a temperatura de regime permanente
em uma placa circular de raio
considerando que a temperatura na circunferência seja conforme informado.
3.
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