Calcule as derivadas parciais de primeira ordem das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos por partes! Você quer calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função
. Isso está relacionado ao estudo de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar usar as regras de derivação de funções compostas e das funções logarítmicas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar a derivação. A raiz cúbica pode ser escrita como uma potência:
Passo 3
Aplicando a propriedade dos logaritmos que diz que
, podemos simplificar ainda mais:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. Lembre-se que, ao derivar parcialmente, tratamos as outras variáveis como constantes.
Aqui, usamos a regra da cadeia: a derivada de
é
.
Passo 5
Simplificando a expressão:
Passo 6
De forma semelhante, vamos calcular a derivada parcial em relação a
:
Passo 7
E, finalmente, a derivada parcial em relação a
:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função são:
Exercícios relacionados
Considere a equação diferencial:
Resolva a equação diferencial e encontre a solução
que satisfaça a condição inicial fornecida.
Nos itens abaixo, calcule o limite e discuta a continuidade das funções:
Considere a equação diferencial:
Resolva a equação diferencial e determine a solução
.
Determine o vetor gradiente das seguintes funções: