Calcule as derivadas parciais de primeira ordem das seguintes funções:

Passo 1

Beleza, vamos por partes! Você quer calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função . Isso está relacionado ao estudo de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar usar as regras de derivação de funções compostas e das funções logarítmicas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar a derivação. A raiz cúbica pode ser escrita como uma potência:

Passo 3

Aplicando a propriedade dos logaritmos que diz que , podemos simplificar ainda mais:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a . Lembre-se que, ao derivar parcialmente, tratamos as outras variáveis como constantes.
Aqui, usamos a regra da cadeia: a derivada de é .

Passo 5

Simplificando a expressão:

Passo 6

De forma semelhante, vamos calcular a derivada parcial em relação a :

Passo 7

E, finalmente, a derivada parcial em relação a :

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:

Exercícios relacionados

Considere a equação diferencial:
Resolva a equação diferencial e encontre a solução que satisfaça a condição inicial fornecida.
Nos itens abaixo, calcule o limite e discuta a continuidade das funções:
Considere a equação diferencial:
Resolva a equação diferencial e determine a solução .
Determine o vetor gradiente das seguintes funções: