Considere a equação diferencial:
Resolva a equação diferencial e determine a solução
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente resolver a equação diferencial
e encontrar a solução
. Esse tipo de equação é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem, e vamos precisar usar o método de separação de variáveis para resolver. Basicamente, vamos separar os termos com
de um lado e os termos com
do outro lado para integrar e encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para facilitar a separação das variáveis. A equação é:
Podemos fatorar
do lado direito:
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis
e
. Queremos que todos os termos com
fiquem de um lado e os termos com
fiquem do outro. Para isso, dividimos ambos os lados por
e multiplicamos por
:
Passo 4
Agora, precisamos integrar ambos os lados da equação. A integral do lado esquerdo pode ser resolvida usando frações parciais. Vamos decompor:
Multiplicando ambos os lados por
para encontrar
e
:
Para
:
Para
:
Então, a decomposição fica:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados:
Calculando as integrais:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Vamos simplificar a expressão usando propriedades dos logaritmos:
Podemos reescrever como:
Onde
ainda é uma constante qualquer.
Passo 7
Agora, resolvemos para
:
Distribuindo
:
Colocando os termos com
do mesmo lado:
Fatorando
:
Finalmente, isolando
:
Podemos expressar
de forma diferente, mas essa já é uma forma válida da solução geral.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.
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Considere a equação diferencial:
Resolva a equação diferencial e encontre a solução
que satisfaça a condição inicial fornecida.
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Considere a equação diferencial:
Resolva a equação diferencial e determine a solução
.