Considere a equação diferencial:
Resolva a equação diferencial e determine a solução .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente resolver a equação diferencial e encontrar a solução . Esse tipo de equação é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem, e vamos precisar usar o método de separação de variáveis para resolver. Basicamente, vamos separar os termos com de um lado e os termos com do outro lado para integrar e encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para facilitar a separação das variáveis. A equação é:
Podemos fatorar do lado direito:

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis e . Queremos que todos os termos com fiquem de um lado e os termos com fiquem do outro. Para isso, dividimos ambos os lados por e multiplicamos por :

Passo 4

Agora, precisamos integrar ambos os lados da equação. A integral do lado esquerdo pode ser resolvida usando frações parciais. Vamos decompor:
Multiplicando ambos os lados por para encontrar e :
Para :
Para :
Então, a decomposição fica:

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados:
Calculando as integrais:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Vamos simplificar a expressão usando propriedades dos logaritmos:
Podemos reescrever como:
Onde ainda é uma constante qualquer.

Passo 7

Agora, resolvemos para :
Distribuindo :
Colocando os termos com do mesmo lado:
Fatorando :
Finalmente, isolando :
Podemos expressar de forma diferente, mas essa já é uma forma válida da solução geral.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

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Resolva a equação diferencial e determine a solução .