Determine o vetor gradiente das seguintes funções:
Passo 1
Vamos determinar o vetor gradiente da função
. Para isso, vamos trabalhar com derivadas parciais e entender o que é o vetor gradiente, que nos mostra a direção de maior crescimento da função.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
. A derivada parcial nos mostra como a função muda quando apenas uma das variáveis muda, mantendo a outra constante.
Passo 3
Vamos calcular
. Sabemos que
. Usando a regra da cadeia, temos:
Passo 4
Simplificando a expressão:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
,
, da mesma forma:
Resposta
O vetor gradiente de
é:
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Considere a equação diferencial:
Resolva a equação diferencial e determine a solução
.
Calcule as derivadas parciais de primeira ordem das seguintes funções:
Considere a equação diferencial:
Resolva a equação diferencial e determine a solução
.
Desenhar algumas curvas de nível e esboçar o gráfico da função
.