Considere a equação diferencial:
x^2 y' + 2 x y = cos(x), y(pi) = 0
Resolva a equação diferencial e encontre a solução y(x) que satisfaça a condição inicial fornecida.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado nos dá a seguinte equação:
Aqui, o que precisamos é encontrar a função y(x) que satisfaz essa equação e a condição inicial . Vamos usar o método das equações lineares de primeira ordem para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos deixar a equação na forma padrão das equações lineares. A forma geral é:
Dividindo toda a equação original por x^2, temos:
Aqui, identificamos que e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante, que é uma função que nos ajuda a simplificar a equação. O fator integrante mu(x) é dado por:
Calculando:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante mu(x):
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada da função x^2 y em relação a x:

Passo 5

Integramos ambos os lados da equação:
Isso resulta em:
Onde C é a constante de integração. Agora, isolamos y:

Passo 6

Aplicamos a condição inicial para encontrar o valor de C:
Sabemos que , então:

Resposta

A solução da equação diferencial que satisfaz a condição inicial é:

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