Considere a equação diferencial:
Resolva a equação diferencial e encontre a solução
que satisfaça a condição inicial fornecida.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado nos dá a seguinte equação:
Aqui, o que precisamos é encontrar a função
que satisfaz essa equação e a condição inicial
. Vamos usar o método das equações lineares de primeira ordem para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos deixar a equação na forma padrão das equações lineares. A forma geral é:
Dividindo toda a equação original por
, temos:
Aqui, identificamos que
e
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante, que é uma função que nos ajuda a simplificar a equação. O fator integrante
é dado por:
Calculando:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada da função
em relação a
:
Passo 5
Integramos ambos os lados da equação:
Isso resulta em:
Onde
é a constante de integração. Agora, isolamos
:
Passo 6
Aplicamos a condição inicial
para encontrar o valor de
:
Sabemos que
, então:
Resposta
A solução da equação diferencial que satisfaz a condição inicial é: