Nos itens abaixo, calcule o limite e discuta a continuidade das funções: lim (x, y) (2,1)(x+3 y^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular o limite da função quando se aproxima de . Além disso, precisamos discutir se a função é contínua nesse ponto. Para isso, vamos usar os conceitos de limites em funções de várias variáveis e entender o que significa continuidade.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite da função quando se aproxima de . Em funções polinomiais, como essa, o limite em um ponto é simplesmente o valor da função nesse ponto. Isso porque polinômios são funções contínuas em todo o seu domínio, o que facilita a nossa vida.

Passo 3

Vamos substituir lim (x, y) (2,1)(x+3 y^2) = 2 + 3(1)^2 = 2 + 3 = 5 e na função para encontrar o limite:
Portanto, o limite é 5.

Passo 4

Agora, sobre a continuidade da função no ponto lim (x, y) (2,1) f(x, y) = f(2, 1) . Uma função é contínua em um ponto se o limite quando se aproxima desse ponto for igual ao valor da função no próprio ponto. Como já calculamos o limite e sabemos que , concluímos que:
Isso confirma que a função é contínua no ponto .

Resposta

O limite da função é igual a 5, e a função é contínua no ponto .

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