Uma esfera de raio 1 intercepta uma esfera menor de raio
de maneira que a intersecção é um círculo de raio
. (Em outras palavras, elas se interceptam em um círculo máximo da esfera pequena.) Encontre
de forma que o volume dentro da esfera pequena e fora da esfera grande seja o máximo possível.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas esferas: uma grande com raio 1 e uma menor com raio
. Essas duas esferas se interceptam de forma que a interseção é um círculo máximo da esfera menor, ou seja, o círculo de interseção tem raio
. Nosso objetivo é encontrar o valor de
que faz com que o volume dentro da esfera menor e fora da esfera grande seja o maior possível.
Para resolver isso, vamos precisar de conhecimentos de geometria espacial, especificamente sobre esferas e volumes de interseção. Também vamos usar cálculo para otimizar o volume desejado.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a posição das duas esferas. Como o círculo de interseção é um círculo máximo da esfera menor, isso significa que o plano de interseção passa pelo centro da esfera menor. Vamos chamar a distância entre os centros das esferas de
.
Podemos usar o teorema de Pitágoras no triângulo formado pelo raio da esfera menor, o raio do círculo de interseção e a distância
:
Mas isso não faz muito sentido. Vamos abordar de outro jeito.
Na verdade, quando duas esferas se interceptam, o raio do círculo de interseção
está relacionado aos raios das esferas
e
e à distância
entre os centros pelas fórmulas:
No nosso caso, sabemos que
e
. Substituindo na fórmula:
Passo 3
Vamos simplificar essa equação para encontrar a relação entre
e
.
Primeiro, expandimos o lado direito:
Vamos multiplicar ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Expandindo o quadrado:
Isso parece complicar, então vamos tentar outro método.
Uma abordagem mais simples é usar a condição de que o círculo de interseção é um círculo máximo da esfera menor. Isso significa que a distância
entre as esferas é tal que o plano de interseção está a uma distância
do centro da esfera menor.
Usando isso, podemos relacionar
,
e
(que é 1):
Passo 4
Agora que temos
, vamos usar a fórmula do volume da região que está dentro da esfera menor e fora da esfera grande.
O volume desejado pode ser calculado pela diferença entre o volume da esfera menor e o volume da interseção das duas esferas.
A fórmula do volume da interseção de duas esferas é:
Mas isso também é complexo. Vamos simplificar usando a ideia de que a interseção forma uma capa esférica na esfera menor.
O volume de uma cápsula esférica (a parte da esfera menor que está fora da esfera grande) pode ser calculado como:
Onde
é a altura da cápsula, que neste caso será
.
Passo 5
Substituindo
na fórmula do volume:
Vamos expandir os termos:
Simplificando:
Passo 6
Agora, para maximizar o volume
, vamos derivar
em relação a
e encontrar onde a derivada é zero.
Primeiro, derivamos:
Igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Multiplicando por -1:
Dividindo por 2:
Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Como
deve ser menor que 1 (pois a esfera menor está dentro da grande), descartamos a solução maior:
Resposta
O valor de
que maximiza o volume dentro da esfera menor e fora da esfera grande é:
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.