Uma esfera de raio 1 intercepta uma esfera menor de raio r de maneira que a intersecção é um círculo de raio r. (Em outras palavras, elas se interceptam em um círculo máximo da esfera pequena.) Encontre r de forma que o volume dentro da esfera pequena e fora da esfera grande seja o máximo possível.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas esferas: uma grande com raio 1 e uma menor com raio . Essas duas esferas se interceptam de forma que a interseção é um círculo máximo da esfera menor, ou seja, o círculo de interseção tem raio . Nosso objetivo é encontrar o valor de que faz com que o volume dentro da esfera menor e fora da esfera grande seja o maior possível.
Para resolver isso, vamos precisar de conhecimentos de geometria espacial, especificamente sobre esferas e volumes de interseção. Também vamos usar cálculo para otimizar o volume desejado.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a posição das duas esferas. Como o círculo de interseção é um círculo máximo da esfera menor, isso significa que o plano de interseção passa pelo centro da esfera menor. Vamos chamar a distância entre os centros das esferas de .
Podemos usar o teorema de Pitágoras no triângulo formado pelo raio da esfera menor, o raio do círculo de interseção e a distância :
Mas isso não faz muito sentido. Vamos abordar de outro jeito.
Na verdade, quando duas esferas se interceptam, o raio do círculo de interseção está relacionado aos raios das esferas e e à distância entre os centros pelas fórmulas:
No nosso caso, sabemos que e . Substituindo na fórmula:

Passo 3

Vamos simplificar essa equação para encontrar a relação entre e .
Primeiro, expandimos o lado direito:
Vamos multiplicar ambos os lados por para eliminar o denominador:
Expandindo o quadrado:
Isso parece complicar, então vamos tentar outro método.
Uma abordagem mais simples é usar a condição de que o círculo de interseção é um círculo máximo da esfera menor. Isso significa que a distância entre as esferas é tal que o plano de interseção está a uma distância do centro da esfera menor.
Usando isso, podemos relacionar , e (que é 1):

Passo 4

Agora que temos , vamos usar a fórmula do volume da região que está dentro da esfera menor e fora da esfera grande.
O volume desejado pode ser calculado pela diferença entre o volume da esfera menor e o volume da interseção das duas esferas.
A fórmula do volume da interseção de duas esferas é:
Mas isso também é complexo. Vamos simplificar usando a ideia de que a interseção forma uma capa esférica na esfera menor.
O volume de uma cápsula esférica (a parte da esfera menor que está fora da esfera grande) pode ser calculado como:
Onde é a altura da cápsula, que neste caso será .

Passo 5

Substituindo na fórmula do volume:
Vamos expandir os termos:
Simplificando:

Passo 6

Agora, para maximizar o volume , vamos derivar em relação a e encontrar onde a derivada é zero.
Primeiro, derivamos:
Igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Multiplicando por -1:
Dividindo por 2:
Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Como deve ser menor que 1 (pois a esfera menor está dentro da grande), descartamos a solução maior:

Resposta

O valor de que maximiza o volume dentro da esfera menor e fora da esfera grande é:

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t^2 y'' + 5 t y' + 4 y = 0, t > 0 ; y1(t) = t^2, y2(t) = t^2 ln(t)
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