Calcule partialpartial r[w(x(r, s), y(r, s))] e partialpartial s[w(x(r, s), y(r, s))], sendo: w=x^2 sin y^3, x=r^3-2 s^3, y=r s^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular as derivadas parciais de em relação a e . A matéria que vamos usar aqui é a Regra da Cadeia para derivadas parciais. Para isso, vamos precisar entender como depende de e , que por sua vez dependem de e .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar as funções que temos:
Nossa missão é encontrar e .

Passo 3

Vamos começar calculando partial wpartial r = partial wpartial x cdot partial xpartial r + partial wpartial y cdot partial ypartial r . Como depende de e , que por sua vez dependem de , usamos a Regra da Cadeia:

Passo 4

Agora, vamos calcular cada uma dessas derivadas individuais:
  1. Derivada de partial wpartial x = 2x sin(y^3) em relação a partial xpartial r = 3r^2 :
partial wpartial y = x^2 cdot 3y^2 cos(y^3) = 3x^2 y^2 cos(y^3)
  1. Derivada de partial ypartial r = s^2 em relação a :
  1. Derivada de em relação a :
  1. Derivada de em relação a :

Passo 5

Agora, substituímos essas derivadas na expressão da Regra da Cadeia:
partial wpartial r = (2x sin(y^3)) cdot (3r^2) + (3x^2 y^2 cos(y^3)) cdot (s^2)
Simplificando:
partial wpartial r = 6x r^2 sin(y^3) + 3x^2 y^2 s^2 cos(y^3)

Passo 6

Agora, vamos calcular partial wpartial s = partial wpartial x cdot partial xpartial s + partial wpartial y cdot partial ypartial s usando o mesmo método:
partial xpartial s = -6s^2
Calculando as derivadas individuais:
  1. Derivada de partial ypartial s = 2r s em relação a partial wpartial s = (2x sin(y^3)) cdot (-6s^2) + (3x^2 y^2 cos(y^3)) cdot (2r s) :
partial wpartial s = -12x s^2 sin(y^3) + 6r x^2 y^2 s cos(y^3)
  1. Derivada de em relação a :
Substituindo na expressão:
Simplificando:

Resposta

As derivadas parciais são:
partial wpartial r = 6x r^2 sin(y^3) + 3x^2 y^2 s^2 cos(y^3)
e
partial wpartial s = -12x s^2 sin(y^3) + 6r x^2 y^2 s cos(y^3)

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