Calcule as derivadas parciais de primeira e segunda ordem (inclusive as cruzadas) das funções abaixo:
Passo 1
Aqui temos a função
. Nosso objetivo é calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem dessa função. Para resolver isso, vamos precisar usar as regras de derivação de funções em coordenadas polares e entender como aplicar as derivadas parciais nesses termos.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de primeira ordem em relação a
, ou seja,
.
A função
. Ao derivar em relação a
, tratamos
como constante.
Derivando cada termo:
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é .
Portanto:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de primeira ordem em relação a
, ou seja,
.
A função
. Ao derivar em relação a
, tratamos
como constante.
Derivando cada termo:
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é .
Portanto:
Passo 4
Vamos agora calcular as derivadas parciais de segunda ordem. Primeiro, a derivada segunda em relação a
, ou seja,
.
Tomamos a derivada de
em relação a
:
Passo 5
Em seguida, vamos calcular a derivada mista
.
Tomamos a derivada de
em relação a
:
Passo 6
Agora, calculamos a derivada mista
.
Segundo o Teorema de Schwarz, se as derivadas são contínuas, essas derivadas mistas são iguais. Portanto:
Passo 7
Por fim, vamos calcular a derivada segunda em relação a
, ou seja,
.
Tomamos a derivada de
em relação a
:
Derivando cada termo:
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é .
Portanto:
Resposta
As derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função
são:
Exercícios relacionados
Calcule
e
, sendo:
Calcule
, sendo:
Calcule as derivadas parciais de primeira e segunda ordem (inclusive as cruzadas) das funções abaixo:
Calcule
e
, sendo:
.