Calcule as derivadas parciais de primeira e segunda ordem (inclusive as cruzadas) das funções abaixo: f(r, theta) = r * tg(theta) - r^2 * sen(theta)

Passo 1

Aqui temos a função . Nosso objetivo é calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem dessa função. Para resolver isso, vamos precisar usar as regras de derivação de funções em coordenadas polares e entender como aplicar as derivadas parciais nesses termos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de primeira ordem em relação a , ou seja, .
A função . Ao derivar em relação a , tratamos como constante.
Derivando cada termo:
  • Derivada de em relação a é .
  • Derivada de em relação a é .
Portanto:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de primeira ordem em relação a , ou seja, .
A função . Ao derivar em relação a , tratamos como constante.
Derivando cada termo:
  • Derivada de em relação a é .
  • Derivada de em relação a é .
Portanto:

Passo 4

Vamos agora calcular as derivadas parciais de segunda ordem. Primeiro, a derivada segunda em relação a , ou seja, .
Tomamos a derivada de em relação a :

Passo 5

Em seguida, vamos calcular a derivada mista .
Tomamos a derivada de em relação a :

Passo 6

Agora, calculamos a derivada mista .
Segundo o Teorema de Schwarz, se as derivadas são contínuas, essas derivadas mistas são iguais. Portanto:

Passo 7

Por fim, vamos calcular a derivada segunda em relação a , ou seja, .
Tomamos a derivada de em relação a :
Derivando cada termo:
  • Derivada de em relação a é .
  • Derivada de em relação a é .
Portanto:

Resposta

As derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função são:

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